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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Gesucht ist der Grenzwert [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2-4x-21}{x^2-9}. [/mm] |
Tag Leute,
also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}. [/mm] Der Grenzwert des Terms ist [mm] \infty.
[/mm]
Aber wie kann ich das jetz am einfachsten formal hinschreiben bzw. berechnen, um auf diesen Grenzwert zu kommen?
Vielen Dank mal.
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Hallo Kegel,
> Gesucht ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2+4x-21}{x^2-9}.[/mm]
>
> Tag Leute,
>
> also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du irgenwie falsch gekürzt bzw. faktorisiert ...
Es ist [mm] $x^2+4x-21=(x-3)\cdot{}(x+7)$ [/mm] und [mm] $x^2-9=(x+3)\cdot{}(x-3)$
[/mm]
Da bleibt doch nach dem Kürzen [mm] $\frac{x\red{+}7}{x\red{+}3}$ [/mm] übrig.
Da kannst du gefahrlos [mm] $x\to [/mm] 3$ laufen lassen und bekommst einen GW!
> Der Grenzwert des Terms ist [mm]\pm \infty.[/mm]
Nein, zum einen ist ein GW immer eindeutig, zum anderen ist [mm] $\infty$ [/mm] höchstens ein (uneigentlicher) GW, [mm] $\infty$ [/mm] ist keine Zahl
> Aber wie kann ich
> das jetz am einfachsten formal hinschreiben bzw. berechnen,
> um auf diesen Grenzwert zu kommen?
> Vielen Dank mal.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
> Hallo Kegel,
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> > Gesucht ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2+4x-21}{x^2-9}.[/mm]
>
> >
> > Tag Leute,
> >
> > also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}.[/mm]
>
>
> Da hast du irgenwie falsch gekürzt bzw. faktorisiert ...
>
> Es ist [mm]x^2+4x-21=(x-3)\cdot{}(x+7)[/mm] und
> [mm]x^2-9=(x+3)\cdot{}(x-3)[/mm]
>
> Da bleibt doch nach dem Kürzen [mm]\frac{x\red{+}7}{x\red{+}3}[/mm]
> übrig.
>
> Da kannst du gefahrlos [mm]x\to 3[/mm] laufen lassen und bekommst
> einen GW!
>
Ah sorry in der Eile das Vorzeichen falsch gesetzt, also es muss natürlich in der Aufgabe [mm] x^2-4x-21 [/mm] heißen. Also dann nochmals zur anfänglichen Frage. Wie geh ich dann vor, wenn ich den Grenzwert [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3} [/mm] bestimmen soll?
edit: Habs in der Aufgabe verbessert.
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Du überprüfst was passiert wenn x [mm] \to \infty [/mm] verläuft.
Hierbei wirst du schnell feststellen das x keineswegs gegen + / - [mm] \infty [/mm] verläuft.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Tut mir leid versteh nich so ganz worauf du hinaus willst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich hab mir das mal in meinem GTR angeschaut und festgestellt, dass es hier ja gar keinen Grenzwert gibt , also zumindest keinen beidseitigen. Nun trotz allem die Frage wie ich bei einer Grenzwertberechnung der Form [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3} [/mm] vorgehen kann bzw. wie ich hier den linksseitigen Grenzwert formal bestimme. Vielen Dank.
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> Ich hab mir das mal in meinem GTR angeschaut und
> festgestellt, dass es hier ja gar keinen Grenzwert gibt ,
> also zumindest keinen beidseitigen. Nun trotz allem die
> Frage wie ich bei einer Grenzwertberechnung der Form
> [mm]\lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}[/mm] vorgehen kann bzw. wie
> ich hier den linksseitigen Grenzwert formal bestimme.
> Vielen Dank.
hier sieht man doch eindeutig, dass bei x=3 eine polstelle mit vorzeichenwechsel vorliegt, wie soll es da rechts- und linksseitigen grenzwert geben?
man muss ja nicht immer mit kanonen auf spatzen schiessen 
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja gut meinetwegen dann eben uneigentliche Grenzwerte.
Ich würd trotzdem gern wissen wie ich formal zeige, dass [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}=\infty. [/mm] Die Erklärung, dass man das einfach sieht, gilt soweit ich weiß nicht als Beweis :).
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> Ja gut meinetwegen dann eben uneigentliche Grenzwerte.
> Ich würd trotzdem gern wissen wie ich formal zeige, dass
> [mm]\lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}=\infty.[/mm] Die Erklärung,
> dass man das einfach sieht, gilt soweit ich weiß nicht als
> Beweis :).
>
>
wenn du von links an die 3 gehst, hast du im nenner eine "negative" null und im zähler auch was negatives, quasi
[mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}=\frac{-4}{-0}=\infty
[/mm]
für den rechtsseitigen uneigentlichen gw gälte dann
[mm] \lim_{x \to 3^{+}} \bruch{x-7}{x-3}=\frac{-4}{+0}=-\infty
[/mm]
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ers mal dankeschön.
Also reciht es aus, wenn ich sag [mm] \bruch{M}{0}=\infty [/mm] für positives M oder muss ich das definieren? Ich dachte halt, dass ich das noch irgendwie beweisen muss, dass es der Ausdruck auch wirklich [mm] \infty [/mm] ist.
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> Ers mal dankeschön.
> Also reciht es aus, wenn ich sag [mm]\bruch{M}{0}=\infty[/mm] für
> positives M oder muss ich das definieren? Ich dachte halt,
> dass ich das noch irgendwie beweisen muss, dass es der
> Ausdruck auch wirklich [mm]\infty[/mm] ist.
naja es ist eher
[mm] \frac{a}{0}=\pm\infty [/mm] für [mm] a\not=0
[/mm]
hier spielen wie eben gezeigt, vorzeichen von a und von der 0 eine rolle
gruß tee
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> Gesucht ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2-4x-21}{x^2-9}.[/mm]
>
> Tag Leute,
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> also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}.[/mm]
> Der Grenzwert des Terms ist [mm]\infty.[/mm]
> Aber wie kann ich das jetz am einfachsten formal
> hinschreiben bzw. berechnen, um auf diesen Grenzwert zu
> kommen?
> Vielen Dank mal.
Hallo zusammen,
ohne mich in die Diskussion einzumischen, stelle
ich nur fest, dass ihr da über zwei verschiedene
Terme diskutiert, nämlich:
$\ [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2\,\red{\mathbf{-}}\ 4x-21}{x^2-9}$
[/mm]
oder aber $\ [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2\,\red{\mathbf{+}}\ 4x-21}{x^2-9}$
[/mm]
Welches Vorzeichen soll nun wirklich gelten ??
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ersteres ist der Fall. Wurde in der ursprünglichen Aufagbe aber bereits verbessert.
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> Ersteres ist der Fall. Wurde in der ursprünglichen Aufagbe
> aber bereits verbessert.
... nur haben dies offenbar nicht alle Diskussions-
teilnehmer rechtzeitig gemerkt ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Mag sein, ist aber nich weiter schlimm, denn die ursprüngliche Aufgabe ist nicht so wichig,
da es ja vielmehr um die Grenzwertbestimmung [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3} [/mm] geht. Aber Danke für den Hinweis
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> Mag sein, ist aber nich weiter schlimm, denn die
> ursprüngliche Aufgabe ist nicht so wichig, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> da es ja vielmehr um die Grenzwertbestimmung [mm]\lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}[/mm]
> geht. Aber Danke für den Hinweis
NATÜRLICH ist die ursprügliche Aufgabe wichtig !
Mit dem abgeänderten Vorzeichen kommt man
nämlich auf die Frage nach dem Grenzwert
[mm] $\lim_{x \to 3}\ \bruch{x+7}{x+3}$
[/mm]
welcher durchaus existiert !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 12.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Du kannst dir ja mal die Diskussion durchlesen und wirst feststellen, dass genau das bereits geklärt wurde und ich daraufhin die Aufgabe sofort korrigiert habe. Was ich meinte war, dass es danach nur noch um die Grenzwertberchnung [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3} [/mm] ging, weshalb die ursprüngliche Aufagbe nicht mehr relevant war.
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OK.
Um dann aber nicht von "positiven oder negativen Nullen"
zu sprechen, könntest du [mm] x=3+\varepsilon [/mm] setzen und dann schreiben:
[mm] $\limes_{x\to3}\ \frac{x-7}{x-3}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\varepsilon\to0}\ \frac{-4+\varepsilon}{\varepsilon}$
[/mm]
Der Zähler strebt mit [mm] \varepsilon\to0 [/mm] gegen -4, der gesamte Bruch aber
je nach dem Vorzeichen des Nenners [mm] \varepsilon [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] oder gegen [mm] +\infty [/mm] .
Dies kann man dann aufdröseln in die beiden Fälle
[mm] $\limes_{x\downarrow3}\ \frac{x-7}{x-3}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\varepsilon\downarrow0}\ \frac{-4+\varepsilon}{\varepsilon}\ [/mm] =\ [mm] -\infty$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\uparrow3}\ \frac{x-7}{x-3}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\varepsilon\uparrow0}\ \frac{-4+\varepsilon}{\varepsilon}\ [/mm] =\ [mm] +\infty$
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 So 13.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Die Idee is natürlich nich schlecht. Vielen Dank für den Tipp.
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