Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}} [/mm] |
Hat hier irgendjemand eine Idee, dieser Grenzwert dreht sich auch ständig hab schon 3 A4 Seiten voll mit Ansätzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Do 04.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Diese Aufgabe schreit doch förmlich nach  de l'Hospital; schließlich liegt hier der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor.
Gruß
Loddar
PS: es wäre auch schön gewesen, wenn Du uns wenigstens an einigen Versuchen Deiner 3 Seiten hättest teilhaben lassen.
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Klar schreit das nach l'Hospital direkt ins Verderben....
[mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 04.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Klar schreit das nach l'Hospital direkt ins Verderben....
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> [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}[/mm]
Hallo,
Doppelbruch beseitigen, den Grenzwert aufspalten in 2 Faktoren, erkennen, dass [mm] \bruch{e^\sqrt{x}}{cos(2x)} [/mm] in Zähler und Nenner gegen 1 geht und sich voll auf den Rest (Wurzel aus einem Bruch) konzentrieren.
Sollte die Wurzel konvergieren, tut es auch der Wurzelradikant (diese Erkenntnis vereinfacht die erneute L'Hospital-Anwendung).
Die Krankenhausregel kann man sich übrigens sparen, wenn man weiß, dass der Grenzwert von
sin(x)/x (für x gegen Null) 1 ist.
Gruß Abakus
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Genau so bin ich auch vorgeganen also:
[mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{e^\sqrt{x}}{cos(2x)} [/mm] * [mm] \underbrace{\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}}_{xx}
[/mm]
xx = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}
[/mm]
und dann wirds wieder diffus.
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Hallo DrNetwork,
> Genau so bin ich auch vorgeganen also:
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> [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{e^\sqrt{x}}{cos(2x)}[/mm] *
> [mm]\underbrace{\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}}_{xx}[/mm]
>
> xx = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}[/mm]
Hier kein de l'Hôpital mehr!
Schreibe [mm] $\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sqrt{\frac{\sin(2x)}{2x}}$
[/mm]
Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}[/mm]
>
> und dann wirds wieder diffus.
Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1$ [/mm] ist ...
Das kennst du sicher ...
Gruß
schachuzipus
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> Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
> Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1[/mm]
> ist ...
>
> Das kennst du sicher ...
Ne leider nicht haben wir nirgendwo bewiesen wie würde der Beweis aussehen?
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> > Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
> > Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1[/mm]
> > ist ...
> >
> > Das kennst du sicher ...
>
> Ne leider nicht haben wir nirgendwo bewiesen wie würde der
> Beweis aussehen?
0/0, ->Krankenhaus
gruß tee
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Aso also [mm] \frac{cos(z)}{1} [/mm] = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Aso also [mm]\frac{cos(z)}{1}[/mm] = 1
Yep, mit nen paar mehr Worten drum, wird das korrekt.
[mm] \limes_{x\to0}\bruch{\sin(x)}{x}
[/mm]
Warum kann man hier l'Hospital anwenden?
Also:
[mm] \limes_{x\to0}\bruch{\sin(x)}{x}=\limes_{x\to0}\bruch{\cos(x)}{1}=1
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Do 04.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo DrNetwork,
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> > Genau so bin ich auch vorgeganen also:
> >
> > [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}[/mm]
> > = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{e^\sqrt{x}}{cos(2x)}[/mm] *
> > [mm]\underbrace{\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}}_{xx}[/mm]
>
> >
> > xx = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}[/mm]
>
> Hier kein de l'Hôpital mehr!
Oder werte die Ergebnisse gekonnt aus.
Hier hast du noch einen Grenzwert mit [mm] \frac{\sqrt{sin(2x)}}{\sqrt{x}}....
[/mm]
>
> Schreibe
> [mm]\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sqrt{\frac{\sin(2x)}{2x}}[/mm]
>
> Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
>
> > = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}[/mm]
... und hier wird nach Auflösung des Doppelbruchs daraus plötzlich ein Grenzwert mit
[mm] \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin(2x)}}
[/mm]
Was folgt daraus, wenn man einmal den Bruch und (abgesehen von Faktoren, die ich weggelassen habe) dann das Reziproke des Bruchs erhält?
Gruß Abakus
>
> >
> > und dann wirds wieder diffus.
>
> Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1[/mm]
> ist ...
>
> Das kennst du sicher ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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> [mm]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
> Was folgt daraus, wenn man einmal den Bruch und (abgesehen
> von Faktoren, die ich weggelassen habe) dann das Reziproke
> des Bruchs erhält?
Weiss nicht, würd mich aber interessieren :)
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Hallo nochmal,
> > [mm]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
> > Was folgt daraus, wenn man einmal den Bruch und
> (abgesehen
> > von Faktoren, die ich weggelassen habe) dann das Reziproke
> > des Bruchs erhält?
>
> Weiss nicht, würd mich aber interessieren :)
Dann schaue bei den Grenzwertsätzen nach ...
Gruß
schachuzipus
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aber nach dem ableiten kann ich doch nicht zwei sachen miteinander zusammenfassen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn lim(f(x) existiert, dann ist [mm] lim\wurzel{f(x)}=\wurzel{ lim(f(x)} [/mm]
was du mit dem zusammenfassen meinst kapier ich nicht.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Gänzlich ohne Krankenhausaufenthalt:
1. Setzt man $f(x)=sin(x)$, so gilt:
$ [mm] \bruch{sin(x)}{x}= \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \to [/mm] f'(0) = cos(0) =1$ für $x [mm] \to [/mm] 0$
2. Setzt man $g(t) = [mm] e^t$, [/mm] so gilt:
$ [mm] \bruch{e^t-1}{t}= \bruch{g(t)-g(0)}{t-0} \to [/mm] g'(0) = [mm] e^0 [/mm] =1$ für $x [mm] \to [/mm] 0$
3. Mit 1. und 2. und
[mm] $\frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}= \bruch{e^{\wurzel{x}}-1}{\wurzel{x}}*\wurzel{\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{sin(2x)}} [/mm] $
lässt sich der gesuchte Limes berechnen
FRED
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