Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 26.12.2010 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
meine Frage ist wieso exestiert nicht der Grenzwert für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n [/mm] nicht ?
Weil dieser Vielleicht von -1 zu +1 springt ?
Gruß yuppi
|
|
| |
|
Hallo,
der Grenzwert ist immer Eindeutig. Was soll denn der Grenzwert dieser Folge sein?
$ - 1 $ und $ 1 $ sind Häufungspunkte dieser Folge.
Oder anders:
Eine Folge $ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ ist konvergent, wenn
$ [mm] \operatorname{lim inf} a_n [/mm] = [mm] \lim a_n [/mm] = [mm] \operatorname{lim sup} a_n [/mm] $
Wegen $ [mm] \operatorname{lim inf} x_n [/mm] = - 1 $ und $ [mm] \operatorname{lim sup} x_n [/mm] = 1 $ kannst du keinen Grenzwert wählen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 So 26.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> meine Frage ist wieso exestiert nicht der Grenzwert für
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n[/mm] nicht ?
>
> Weil dieser Vielleicht von -1 zu +1 springt ?
es gibt verschiedene Gründe, warum dieser nicht existiert. (Deine Antwort ist so nicht vernünftig, denn man kann nicht sagen, dass etwas nicht existiert, weil es hin und her springt. Etwas, das nicht existiert, kann auch nicht springen. Du meinst, dass "die Folge stets hin und her springt" (letzteres ist bzgl. des Vorzeichens gemeint). Das ist so ein nicht schlechtes Argument, es ist aber zu beachten, dass die Folge auch keine Nullfolge ist...)
ChopSueys Antwort ist natürlich korrekt, aber da braucht man schon ein wenig Hintergrundwissen:
Eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert (bzgl. der vom Betrag induzierten Metrik, also der "Standardmetrik") genau dann, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat.
Oder halt das erwähnte mit dem Limsup und Liminf.
Du kannst es aber auch ganz elementar angehen. Wir nehmen mal an, dass die Folge [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] gegen ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiere. Wir führen nun zwei Widerspruchsbeweise - suche Dir dann einen davon aus, der Dir besser gefällt.
1.) Wir setzen [mm] $\epsilon:=1/2 \;> 0\,.$ [/mm] Nach der Voraussetzung (d.h. die Annahme der Konvergenz von [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$) [/mm] muss dann ein [mm] $N=N(\epsilon)=N(1/2) \in \IN$ [/mm] existieren, so dass
[mm] $$|(-1)^n-a| \le \epsilon=1/2$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt. Für alle geraden natürlichen $g [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann aber
[mm] $$|(-1)^g-a|=|1-a| \le 1/2=\epsilon$$
[/mm]
und für alle ungeraden $u [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$|(-1)^u-a|=|-1-a|=|1+a| \le 1/2=\epsilon\,.$$
[/mm]
Nun liefert $|1-a| [mm] \le [/mm] 1/2$ gerade $1/2 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 3/2$ und $|1+a| [mm] \le [/mm] 1/2$ liefert $-3/2 [mm] \le [/mm] a [mm] \le -1/2\,,$ [/mm] also muss
$$a [mm] \in [-1.5,\;\,-0,5] \cap [0.5,\;\,1.5]=\emptyset$$
[/mm]
liegen, was nicht sein kann, da die leere Menge nun mal keine Elemente hat.
2. (Alternativer Beweis):
Aus [mm] $(-1)^n \to [/mm] a$ folgt [mm] $a-(-1)^n \to 0\,.$ [/mm] Für gerade natürliche [mm] $n=g\,$ [/mm] gilt dann [mm] $a-(-1)^g=a-1 \to [/mm] a-1$ und für ungerade natürliche [mm] $n=u\,$ [/mm] folgt [mm] $a-(-1)^u=a-(-1)=a+1\,,$ [/mm] und weil im Falle der Konvergenz jede Teilfolge von [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] gegen den gleichen Grenzwert wie die Folge selbst konvergiert, liefert das [mm] $a+1=a-1\,,$ [/mm] was den Widerspruch $1=-1$ impliziert. Daher muss die Annahme der Konvergenz von [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] verworfen werden.
P.S.:
Nun kann man, wenn man lustig ist, sich auch noch kurz Gedanken machen, dass die Folge auch nicht gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] konvergiert. Aber weil [mm] $\pm \infty \notin \IR\,,$ [/mm] muss man da oben auch nichts abändern. Oben ist gezeigt, dass die Folge keinen Grenzwert in [mm] $\IR$ [/mm] besitzt. Nichtsdestotrotz könnte sie aber bestimmt gegen [mm] $+\infty \notin \IR$ [/mm] oder [mm] $-\infty \notin \IR$ [/mm] divergieren. Allerdings ist es banal, dass [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] eine beschränkte Folge ist, so dass die bestimmte Divergenz gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] auch ausgeschlossen ist.
Feierliche Grüße,
Marcel
|
|
|
|
