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| Aufgabe | Man berechne den Grenzwert für [mm] {n\rightarrow\infty} [/mm] von
[mm] \wurzel[3]{n^{3}+2n^{2}+1} [/mm] - n
(Hinweis: [mm] a^{3}-b^{3}= [/mm] (a-b) [mm] (a^{2}+ab+b^{2})
[/mm]
Sie müssen a und b richtig wählen und die Hilfe ausnutzen. |
Ich sehe, dass wenn ich mit [mm] (a^{2}+ab+b^{2}) [/mm] erweitere ( a = [mm] \wurzel[3]{n^{3}+2n^{2}+1} [/mm] und b = n) im Zähler die Wurzel wegfällt.
Aber warum muss ich den Hinweis nutzen?
Kann ich nicht [mm] \wurzel[3]{n^{3}} [/mm] ausklammern, so dass ich erhalte
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] \wurzel{1} [/mm] - n = 0 ?
Worauf muss ich achten wenn ich ausklammere?
Z.b. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{4}} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{4}} \wurzel{\bruch{1}{n^{4}}} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{4}} [/mm] * 0 = 0, wäre ja falsch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man berechne den Grenzwert für [mm]{n\rightarrow\infty}[/mm] von
>
> [mm]\wurzel[3]{n^{3}+2n^{2}+1}[/mm] - n
>
> (Hinweis: [mm]a^{3}-b^{3}=[/mm] (a-b) [mm](a^{2}+ab+b^{2})[/mm]
>
> Sie müssen a und b richtig wählen und die Hilfe
> ausnutzen.
> Ich sehe, dass wenn ich mit [mm](a^{2}+ab+b^{2})[/mm] erweitere ( a
> = [mm]\wurzel[3]{n^{3}+2n^{2}+1}[/mm] und b = n) im Zähler die
> Wurzel wegfällt.
>
> Aber warum muss ich den Hinweis nutzen?
>
> Kann ich nicht [mm]\wurzel[3]{n^{3}}[/mm] ausklammern, so dass ich
> erhalte
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n [mm]\wurzel{1}[/mm] - n = 0 ?
nein. Denn (mit [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$) [/mm] kennt man die Aussage [mm] $\lim (a_n b_n)=\lim a_n [/mm] * [mm] \lim b_n\,,$ [/mm] sofern denn die beiden Grenzwerte rechterhand (in [mm] $\IR$) [/mm] existieren (und auch noch mit Besonderheiten bei Konvergenz einer Folge gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] - z.B. [mm] $\lim b_n=-\infty$ [/mm] und [mm] $\lim a_n=\infty \Rightarrow \lim (a_nb_n)=-\infty\,;$ [/mm] oder [mm] $\lim a_n \to [/mm] a [mm] \in \IR_{ > 0}$ [/mm] und [mm] $\lim b_n=-\infty \Rightarrow \lim(a_nb_n)=-\infty$ [/mm] etc. pp. - wobei man Ausdrücke wie [mm] $p*\infty=\infty$ [/mm] für $p [mm] \in \IR_{>0}$, [/mm] oder [mm] $\infty*\infty:=\infty$ [/mm] etc. DEFINIERT hat!). Aber [mm] $\lim n=\infty$ [/mm] ist kein Element von [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> Worauf muss ich achten wenn ich ausklammere?
> Z.b. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{4}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{n^{4}} \wurzel{\bruch{1}{n^{4}}}[/mm] = [mm]\wurzel{n^{4}}[/mm]
> * 0 = 0, wäre ja falsch.
Was machst Du da überhaupt in dem letzten Abschnitt? Du musst weniger drauf achten, wie Du umformst, sondern vielmehr darauf, wie die "Rechenregeln für (konvergente) Folgen" gelten.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Mit [mm] $a=a_n:=\sqrt[3]{n^3+2n^2+1}$ [/mm] und [mm] $\blue{b=b_n:=\sqrt[3]{n^3}}=n$ [/mm] gilt für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] wegen des Hinweises
[mm] $$a-b=\frac{n^3+2n^2+1-n^3}{\sqrt[3]{(n^3+2n^2+1)^2}+\sqrt[3]{(n^3+2n^2+1)*n^3}+\sqrt[3]{(n^3)^2}}\,.$$
[/mm]
Jetzt kannst Du ausnutzen, dass " [mm] $\sqrt[3]{\cdot}$ [/mm] und die Addition sowie die Multiplikation reeller Zahlen stetige Funktionen sind."
Oder aber Du schaust nach solchen Regeln nach:
[mm] $$(1)\;\;\;r_n \to r\in \IR_{ \ge 0} \Rightarrow \sqrt[3]{r_n} \to \sqrt[3]{r}\,,$$
[/mm]
[mm] $$(2)\;\;\;s_n \to s\in \IR \text{ und }t_n \to [/mm] t [mm] \in \IR \Rightarrow s_n+t_n \to s+t\,,$$
[/mm]
[mm] $$(3)\;\;\;x_n \to [/mm] x [mm] \in \IR \text{ und }y_n \to [/mm] y [mm] \in \IR \setminus \{0\} \Rightarrow x_n/y_n \to x/y\,.$$
[/mm]
Diese hast Du hier nach und nach (und eigentlich auch in einer logischen Reihenfolge) anzuwenden. Dazu machst Du im Nenner z.B. etwas wie
[mm] $$\sqrt[3]{(n^3+2n^2+1)^2}=\sqrt[3]{n^6}\sqrt[3]{\ldots}=n^2\sqrt[3]{\ldots} \text{ und wegen }\ldots \to ??\text{ folgt dann }...$$
[/mm]
Du wirst sehen (nachdem Du auch [mm] $n^2$ [/mm] gekürzt hast), dass dann da nicht ein solch unbestimmter Ausdruck wie etwa [mm] "$0*\infty$" [/mm] auftaucht, sondern Du nach und nach Regeln anwenden kannst, die ihr bewiesen habt.
(Die [mm] $\ldots$ [/mm] und ?? hast Du natürlich zu ergänzen!)
P.S.:
Analog:
[mm] $$\sqrt{n^2+1}-n$$
[/mm]
strebt gegen [mm] $0\,$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Wenn man
[mm] $$\sqrt{n^2+1}-n=n\sqrt{1+1/n^2}-n$$
[/mm]
schreibt, kommt man (nicht ohne weiteres und direkt jedenfalls) weiter - und Regel (2) oben kann man auch nicht für Fälle [mm] "$\infty-\infty$" [/mm] formulieren, oder anders gesagt: [mm] $\infty-\infty$ [/mm] bleibt unbestimmt. (Würde man [mm] $\infty-\infty:=0$ [/mm] setzen, so wäre die Regel (2) schon bei Betrachtung von [mm] $n=2n-n\,$ [/mm] "sinnfrei"!)
Aber es gilt
[mm] $$\sqrt{n^2+1}-n=\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{1}{n+\sqrt{n^2+1}} \to [/mm] 0$$
wegen [mm] $n+\sqrt{n^2+1} \to \infty\,,$ [/mm] und da bekanntlich
[mm] $$|a_n| \to \infty \Rightarrow 1/a_n \to [/mm] 0$$
gilt.
P.P.S.:
Natürlich kann man [mm] $\lim (\sqrt{n^2+1}-n)=\lim [/mm] (n*( [mm] \sqrt{1+1/n^2}-1))$ [/mm] schreiben, aber [mm] $\infty*0$ [/mm] ist ebenfalls ein unbestimmter Ausdruck. Du kannst Dir dazu ja mal [mm] $1/n=n*(1/n^2) \to [/mm] 0$ und auch [mm] $1=n^2*(1/n^2) \to [/mm] 1$ und auch [mm] $n=n^3*(1/n^2) \to \infty$ [/mm] angucken...
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Diese hast Du hier nach und nach (und eigentlich auch in einer logischen Reihenfolge) anzuwenden. Dazu machst Du im Nenner z.B. etwas wie
$ [mm] \sqrt[3]{(n^3+2n^2+1)^2}=\sqrt[3]{n^6}\sqrt[3]{\ldots}=n^2\sqrt[3]{\ldots} \text{ und wegen }\ldots \to ??\text{ folgt dann }... [/mm] $ |
Hallo Marcel,
ersteinmal vielen Dank für Deine schnelle und ausführliche Antwort. Die konnte ich gestern gar nicht mehr so richtig verarbeiten.
Jetzt habe ich soweit verstanden, dass ich nicht darauf geachtet habe das beide Folgen konvergent sein müssen, damit ich die Regeln anwenden kann.
Wenn ich Deine Berechnung fortsetze erhalte ich nach dem ausmultiplizieren dann:
[mm] \bruch{n^3+2n^2+1-n^3}{\wurzel[3]{n^{6}}*(\wurzel[3]{(1+\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}+\bruch{4}{n^{4}}+\bruch{1}{n^{6}})}+\wurzel[3]{+(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{3}})}+\wurzel[3]{1})}
[/mm]
Nun würde ich [mm] n^{2} [/mm] rauskürzen und folgendes erhalten: [mm] \bruch{n+2*\bruch{1}{n^{2}}-n}{3} [/mm] ? Nach Regeln (1) und (2) wird der Nenner ja 1+1+1 sein?!
Nun geht [mm] 2*\bruch{1}{n^2} [/mm] gegen 0. Aber was ist mit n-n? Die darf ich doch dann wieder nicht subtrahieren oder?
Irgendwie verstehe ich das auch noch nicht ganz warum das nicht geht.
Das 2n - n [mm] \not= [/mm] 0 verstehe ich. Aber nicht für n - n. Sind die nicht per Definition gleich? Sonst dürfte ich doch eigentlich auch nicht [mm] n^{2} [/mm] rauskürzen?
Oder war das bei meinem 1. Ansatz nur wegen:
[mm] \wurzel[3]{n^{3}} [/mm] * [mm] \wurzel[3]{1 + \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^{2}}} [/mm] - n ?
Wobei ich darauf bezogen nicht
> etc. pp. - wobei man Ausdrücke wie [mm]p*\infty=\infty[/mm] für [mm]p \in \IR_{>0}[/mm],
> oder [mm]\infty*\infty:=\infty[/mm] etc. DEFINIERT hat!). Aber [mm]\lim n=\infty[/mm]
> ist kein Element von [mm]\IR\,.[/mm]
verstanden habe. In diesem Falle wäre doch [mm] \wurzel[3]{1} [/mm] = [mm]p \in \IR_{>0}[/mm] bzw. n*1 = n?
> Jetzt kannst Du ausnutzen, dass " $ [mm] \sqrt[3]{\cdot} [/mm] $ und die Addition sowie die Multiplikation reeller Zahlen stetige Funktionen sind
Wie kann ich das ausnutzen ohne die Regeln? Bzw. warum ist es wichtig das ich stetige Funktionen habe?
Vielen Dank für Deine Antwort
Gruß,
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Diese hast Du hier nach und nach (und eigentlich auch in
> einer logischen Reihenfolge) anzuwenden. Dazu machst Du im
> Nenner z.B. etwas wie
>
> [mm]\sqrt[3]{(n^3+2n^2+1)^2}=\sqrt[3]{n^6}\sqrt[3]{\ldots}=n^2\sqrt[3]{\ldots} \text{ und wegen }\ldots \to ??\text{ folgt dann }...[/mm]
>
> Hallo Marcel,
>
> ersteinmal vielen Dank für Deine schnelle und
> ausführliche Antwort. Die konnte ich gestern gar nicht
> mehr so richtig verarbeiten.
> Jetzt habe ich soweit verstanden, dass ich nicht darauf
> geachtet habe das beide Folgen konvergent sein müssen,
> damit ich die Regeln anwenden kann.
sagen wir es mal so: Die Formulierungen der Rechenregeln für (konvergente) Folgen enthalten Voraussetzungen - und wenn man diese Regeln anwenden will, muss man halt prüfen, ob die Voraussetzungen gegeben sind.
> Wenn ich Deine Berechnung fortsetze erhalte ich nach dem
> ausmultiplizieren dann:
>
> [mm]\bruch{n^3+2n^2+1-n^3}{\wurzel[3]{n^{6}}*(\wurzel[3]{1+\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}+\bruch{4}{n^{4}}+\bruch{1}{n^{6}}}+\wurzel[3]{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{3}}}+\wurzel[3]{1})}=:(\star)[/mm]
Sofern ich das richtig sehe (und keinen Fehler übersehe), ist das korrekt. Man könnte es natürlich mit [mm] $\sqrt[3]{n^6}=n^2$ [/mm] und vor allem [mm] $\sqrt[3]{1}=1$ [/mm] noch einfacher schreiben. 
Aber:
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nun würde ich [mm]n^{2}[/mm] rauskürzen und folgendes erhalten:
> [mm]\bruch{n+2*\bruch{1}{n^{2}}-n}{3}[/mm] ?
Na, was machst Du denn hier? Erstmal lassen wir das $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest und rechnen. Dann steht da ein gewöhnlicher Bruch und daher läßt sich alles umschreiben zu
[mm] $$(\star)=\frac{n^2}{n^2}\;*\;\bruch{\blue{2+\frac{1}{n^2}}}{\wurzel[3]{1+\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}+\bruch{4}{n^{4}}+\bruch{1}{n^{6}}}+\wurzel[3]{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{3}}}+\wurzel[3]{1}}=\bruch{\blue{2+\frac{1}{n^2}}}{\wurzel[3]{1+\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}+\bruch{4}{n^{4}}+\bruch{1}{n^{6}}}+\wurzel[3]{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{3}}}+1}\,.$$
[/mm]
Dies darfst Du alles so rechnen. Denn dort war zwar $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest (deswegen hätten wir auch schon vor dem Kürzen [mm] $n^3-n^3=0$ [/mm] benutzen dürfen, oder aber auch nach dem Kürzen etwas wie [mm] $n-n=0\;.$ [/mm] Und zwar "vor dem Grenzprozessablauf".). Für jedes feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] darf man das alles so rechnen. Das Entscheidende, die Rechenregeln (für "konvergente Folgen bzw. deren Grenzwerte"), kommt erst jetzt: Jetzt "lassen wir $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen". Bei "diesem Prozess" müssen wir vorsichtig sein, dass wir vernünftig argumentieren bzw. rechnen!
> Nach Regeln (1) und (2)
> wird der Nenner ja 1+1+1 sein?!
Ja. Genauer: Es gilt mit diesen Regeln:
[mm] $$\wurzel[3]{1+\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}+\bruch{4}{n^{4}}+\bruch{1}{n^{6}}}+\wurzel[3]{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{3}}}+1 \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}+1=3\,.$$
[/mm]
> Nun geht [mm]2*\bruch{1}{n^2}[/mm] gegen 0.
Würde zwar stimmen, aber: Anstatt des [mm] $*\,$ [/mm] gehört da oben ein [mm] $+\,$ [/mm] zwischen [mm] $2\,$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] hin. Siehe auch "meine Version." Für den Zähler gilt also
[mm] $$2+\frac{1}{n^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 2+0=2\,.$$ [/mm]
Mit Regel (3) erhältst Du dann als Grenzwert insgesamt
[mm] $$2/3\,.$$
[/mm]
> Aber was ist mit n-n?
> Die darf ich doch dann wieder nicht subtrahieren oder?
Doch. Nur halt "vor dem Grenzprozess", wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] zwar beliebig ist, aber festgehalten wird. Das habe ich doch auch schon vorher gemacht (auch dort war $n [mm] \in \IN$ [/mm] zwar beliebig, aber fest).
> Irgendwie verstehe ich das auch noch nicht ganz warum das
> nicht geht.
Du verwechselst hier verschiedene Dinge: Die Rechenregeln "für die Grenzwerte" und das "(Be-)Rechnen vor dem Prozess der Grenzwertbildung".
> Das 2n - n [mm]\not=[/mm] 0 verstehe ich. Aber nicht für n - n.
> Sind die nicht per Definition gleich? Sonst dürfte ich
> doch eigentlich auch nicht [mm]n^{2}[/mm] rauskürzen?
Ich versuche das nun nochmal klarer zu machen, und zwar wieder anhand einer Regel und dreier Beispiele:
1.) Seien die Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] durch
[mm] $$a_n:=b_n:=n$$
[/mm]
(für alle [mm] $n\,$) [/mm] gegeben. Wir betrachten [mm] $(c_n)_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $$c_n:=a_n-b_n$$
[/mm]
(für alle [mm] $n\,$).
[/mm]
[mm] $(\blue{\star})$ [/mm] Hier gilt offenbar für jedes [mm] $n\,,$ [/mm] dass [mm] $c_n=n-n=0$ [/mm] und damit auch
[mm] $$\blue{c_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0\,.}$$ [/mm]
Man darf aber nicht sagen:
[mm] $$c_n=a_n-b_n=n-n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty-\infty=0\,,$$
[/mm]
denn sowohl [mm] $(a_n)_n$ [/mm] als auch [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konvergiert nicht (in [mm] $\IR$), [/mm] und [mm] "$\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] ist (für uns) ein unbestimmter Ausdruck".
Dieses [mm] "$\underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty-\infty$" [/mm] darf man also schon gar nicht schreiben; denn dafür gibt es keine Rechenregel (man kann es auch nicht beweisen - zumal selbst dann die Frage wäre, was denn [mm] $\infty-\infty$ [/mm] sein soll?).
In [mm] $\blue{(\star)}$ [/mm] wiederum steht nichts falsches, denn konstante Folgen konvergieren halt (gegen ihren konstanten Wert).
2.) Betrachten wir (etwas lasch notiert) [mm] $a_n=2n$ [/mm] und [mm] $b_n=n\,.$ [/mm] Hier darf man natürlich mit [mm] $c_n=a_n-b_n$ [/mm] für jedes [mm] $n\,$ [/mm] schreiben
[mm] $$c_n=a_n-b_n=2n-n=n\,.$$
[/mm]
Dies zeigt [mm] $c_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$ [/mm] (d.h., genauer gesagt: [mm] $(c_n)_n$ [/mm] divergiert bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] -man sagt auch: [mm] $(c_n)_n$ [/mm] "konvergiert gegen [mm] $\infty$", [/mm] sollte bei dieser Sprechweise aber beachten, dass damit [mm] $(c_n)_n$ [/mm] NICHT IN [mm] $\IR$ [/mm] KONVERGENT IST - sondern es besagt nur: für jede noch so große reelle Zahl gibt es nur endlich viele Folgenglieder, die nicht über dieser liegen).
Gänzlich sinnlos aber wäre hier die Notation
[mm] $$c_n=a_n-b_n=2n-n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty-\infty\,.$$
[/mm]
Es wird ab dem [mm] $\underset{n \to \infty}{\longrightarrow}$ [/mm] falsch!
Was übrigens gilt, ist z.B.
Sei nun [mm] $a_n=1/n^2=b_n\,.$ [/mm] Und wieder betrachten wir
[mm] $$c_n=a_n-b_n\,.$$
[/mm]
Klar ist hier auch: Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt
[mm] $$c_n=a_n-b_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2}=0 \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0\,.$$
[/mm]
Hier können wir nun aber auch den Grenzwert von [mm] $(c_n)_n$ [/mm] mal anders berechnen:
Wir dürfen hier auch schreiben:
[mm] $$c_n=a_n-b_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0-0=0\,.$$
[/mm]
Denn hier gilt
[mm] $$a_n=1/n^2\underset{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$$
und
[mm] $$b_n=1/n^2\underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0\,,$$
[/mm]
so dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen sind [mm] ($(a_n)_n$ [/mm] ist ja konvergent und zwar gegen $0 [mm] \in \IR\,,$ [/mm] und auch [mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist konvergent, gegen $0 [mm] \in \IR\;;$ [/mm] also sind [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konvergente Folgen, deren Grenzwerte jeweils in [mm] $\IR$ [/mm] liegen und dann konvergiert die Differenzfolge eben gegen die Differenz der Grenzwerte).
Ich schreibe das nochmal zusammenfassend und kurz in der Limes-Notation, wobei [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$ [/mm] bedeute:
1.) Es darf geschrieben werden
[mm] $$\lim(n-n)=\lim 0=0\,,$$
[/mm]
aber falsch ist
[mm] $$\lim(n-n)=(\lim n)-(\lim n)=\infty-\infty=0\,.$$
[/mm]
Bei letztgenanntem ist jedes Gleichheitszeichen falsch!
2.) Es darf geschrieben werden
[mm] $$\lim(2n-n)=\lim n=\infty\,,$$
[/mm]
aber falsch ist
[mm] $$\lim(2n-n)=(\lim 2n)-(\lim n)=\infty-\infty=0\,.$$
[/mm]
Bei letztgenanntem ist jedes Gleichheitszeichen falsch!
Auch wäre
[mm] $$(\lim 2n)-(\lim n)=(2\lim [/mm] n) - [mm] (\lim n)=2\infty-\infty=\infty$$
[/mm]
(mehr oder weniger) unsinnig.
3.) Es darf geschrieben werden
[mm] $$\lim\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2}\right)=\lim 0=0\,,$$
[/mm]
und hier darf auch geschrieben werden
[mm] $$\lim\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2}\right)=(\lim(1/n^2))-(\lim(1/n^2))=0-0=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Di 11.01.2011 | | Autor: | willi.eber |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die Antwort. Ich denke ich habe jetzt alles verstanden. Das bewusste Aufteilen in Vor- und Grenzprozessablauf und unterteilen in [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] hilft :)
Danke und Gruß,
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für die Antwort. Ich denke ich habe jetzt
> alles verstanden. Das bewusste Aufteilen in Vor- und
> Grenzprozessablauf und unterteilen in [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] hilft :)
das freut mich zu hören. Auch mich hat das früher (öfters mal) verwirrt. Man muss es halt wirklich irgendwann mal verinnerlicht haben und sich alles klargemacht haben. Insbesondere auch, wie die Symbole zu lesen sind:
Bei [mm] $\lim (n-n)=\lim [/mm] 0$ "rechnet man unter dem Limeszeichen quasi mit einem beliebigen, festen [mm] $n\,,$... [/mm] dabei geht nichts schief. Oft sind es derart kleine Dinge, die verwirren (können)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hey Marcel,
eine super Erklärung mit unglaublichem Aufwand.
Meine Hochachtung! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Herzliche Grüße
reverend
PS: gab es nicht eine Möglichkeit, beispielhafte Antworten zu "taggen"? Ich komm gerade nicht drauf. Deine hier wäre es wert, als häufiger Verweis zu dienen.
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