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Hallo Leute,
hat [mm] \bruch{1}{1+e^(1/h)} [/mm] einen Grenzwert?
Wenn ja, welchen?
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mathestudent111,
hat eigentlich schon mal jemand gesagt: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ?
Die Aufgabe ist so nicht vollständig.
Nehmen wir mal an, e sei die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Zahl und damit eine Konstante.
Dann wäre wohl h die Variable, nur - wohin läuft sie denn so? Davon wird der Grenzwert abhängen.
Aber sei schonmal beruhigt: er existiert, egal an welcher Stelle Du ihn betrachten willst, mit einer Einschränkung:
Für $ [mm] h\to [/mm] 0 $ ist entscheidend, von welcher Seite man sich nähert.
Mit anderen Worten: Die Funktion [mm] f(h)=\bruch{1}{1+e^{\bruch{1}{h}}} [/mm] ist bei h=0 unstetig nicht definiert und nicht stetig ergänzbar (siehe den Hinweis von Marcel).
Grüße
reverend
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aha okay schonmal danke für die schnelle antwort. :)
Von welcher Seite man sich annähert meinste bestimmt den rechts- und linksseitigen Grenzwert, oder?
Und wie genau rechne ich diese "beiden" Grenzwerte aus?
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Hallo,
geht es denn um $ [mm] h\to [/mm] 0 $ ?
Wenn ja, versuchs doch mal...
Grüße
reverend
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Ja es geht um h gegen Null.
Also eigentlich nur lim von [mm] e^\bruch{1}{h}.
[/mm]
Aber komme ich da auf eine Zahl?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja es geht um h gegen Null.
>
> Also eigentlich nur lim von [mm]e^\bruch{1}{h}.[/mm]
>
> Aber komme ich da auf eine Zahl?
Du musst Dir halt im Klaren sein (oder klarmachen), dass
[mm] $$(1)\;\;\lim_{r \to \infty}e^r=\infty$$
[/mm]
und
[mm] $$(2)\;\;\lim_{s \to -\infty}e^s=0$$
[/mm]
ist (wenn man sich über eine der beiden Beziehungen im Klaren ist, kann man die andere daraus folgern).
Dann ist halt zu beachten, dass [mm] $\frac{1}{h}$ [/mm] bei linksseitiger Annäherung von [mm] $h\,$ [/mm] an die Null, eben gegen [mm] $-\infty$ [/mm] strebt, und dass [mm] $\frac{1}{h}$ [/mm] bei rechtsseitiger Annäherung von $h [mm] \to [/mm] 0$ gegen [mm] $+\infty$ [/mm] strebt.
Somit:
[mm] $$\lim_{\substack{h \to 0\\h > 0}}e^{\frac{1}{h}}$$ [/mm]
entspricht Fall (1), und
[mm] $$\lim_{\substack{h \to 0\\h < 0}}e^{\frac{1}{h}}$$ [/mm]
entspricht Fall (2).
Sollte es dennoch unklar sein: Mach's Dir evtl. durch eine jeweilige Substitution klar:
$0 < h [mm] \to [/mm] 0$ entspricht (auch unter Beachtung von $1/h > [mm] 0\,$) [/mm] dann $0 < [mm] \frac{1}{h}=:r \to \infty$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:25 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reverend,
> Hallo mathestudent111,
>
> hat eigentlich schon mal jemand gesagt: ?
>
> Die Aufgabe ist so nicht vollständig.
> Nehmen wir mal an, e sei die
> Eulersche Zahl
> und damit eine Konstante.
>
> Dann wäre wohl h die Variable, nur - wohin läuft sie denn
> so? Davon wird der Grenzwert abhängen.
>
> Aber sei schonmal beruhigt: er existiert, egal an welcher
> Stelle Du ihn betrachten willst, mit einer Einschränkung:
> Für [mm]h\to 0[/mm] ist entscheidend, von welcher Seite man sich
> nähert.
>
> Mit anderen Worten: Die Funktion
> [mm]f(h)=\bruch{1}{1+e^{\bruch{1}{h}}}[/mm] ist bei h=0 unstetig.
das darf man so nicht sagen, wenn [mm] $f(0)\,$ [/mm] nicht explizit angegeben ist. Stetigkeitsuntersuchungen einer Funktion machen (erstmal) nur an den Stellen Sinn, wo die Funktion auch definiert ist.
Die Funktion $g: M [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] g(x):=1/x$ ist für alle $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] stetig, sofern denn $0 [mm] \notin [/mm] M$ gilt. Sie läßt sich aber nicht an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] stetig ergänzen (in Abhängigkeit von [mm] $M\,$ [/mm] wäre das aber in gewissen Fällen doch möglich, wenn man auch einen anderen Zielbereich zuließe: Anstatt [mm] $\IR$ [/mm] dann z.B. [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$).
[/mm]
In diesem Sinne solltest Du bei Deiner obigen Aussage auch eher von stetiger Ergänzung sprechen. In Deinem Wortlaut ist die Aussage jedenfalls falsch, weil für Dein [mm] $f\,$ [/mm] (jedenfalls noch) $0 [mm] \notin D_f$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
danke für den Hinweis.
Das war unpräzise, da hast Du völlig Recht.
Grüße
reverend
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