Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:04 Fr 28.01.2011 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich definiere mir den Ausdruck A(t) als
[mm] $A(t):=\frac{2+t}{\exp{(\sqrt{2+t})}} \cdot \int_0^t \frac{\exp{(\sqrt{2+s})}}{(2+s)^2} [/mm] \ ds$
Nun möchte ich zeigen, dass gerade für $t [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] gilt:
$A(t) [mm] \rightarrow [/mm] 0.$
Hat von euch jemand eine Idee, wie man dahin kommt? Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
Grüße, Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 28.01.2011 | | Autor: | QCO |
Ich würde versuchen, eine Stammfunktion zum Integral zu finden. Wenn du die hast, sollte es nicht schwierig sein, den Grenzwert zu binden.
Vorschlag: substituiere zunächst mal [mm]x = \wurzel{2+s}[/mm], [mm]ds = 2 x dx[/mm]. Dann kannst du partiell integrieren - von [mm] $x^{-3}$ [/mm] zu [mm] $x^{-2}$ [/mm] usw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Fr 28.01.2011 | | Autor: | DesterX |
Danke für die Hilfe.
Ja, da liegt gerade das Problem: Eine Stammfunktion des Integrals existiert leider nicht - jedenfalls keine, die ohne ein weiteres Integral darstellbar wäre. Sonst wäre die Sache in der Tat etwas einfacher. Hat sonst noch jemand eine Idee? Würd mich freuen. :)
Gruß, Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 30.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi DesterX,
mein Vorschlag wäre den Integranden so nach oben abzuschätzen, dass man eine Stammfkt. findet. Natürlich darf man nicht zu grob sein, damit die Abschätzung insgesamt noch gegen 0 geht.
Nachdem man das Integral substituiert wie von QCO vorgeschlagen, sieht es ja so aus:
[mm] \integral{\bruch{e^{\wurzel2+s}}{(2+s^2)}ds}=\integral{2\bruch{e^x}{x^3}dx}
[/mm]
einmal partiell integriert:
[mm] =-\bruch{1}{2x^4}e^x+\bruch{1}{2}\integral{\bruch{e^x}{x^4}}
[/mm]
für [mm] $x\ge [/mm] 4$ gilt: [mm] \bruch{e^x}{x^4}\le\bruch{e^x(x-3)}{x^4} [/mm] und davon ist die Stammfkt. [mm] \bruch{e^x}{x^3}, [/mm] also hat man für [mm] $x\ge [/mm] 4:$
[mm] \integral{2\bruch{e^x}{x^3}dx}\le-\bruch{1}{2x^4}e^x+\bruch{1}{2}\bruch{e^x}{x^3} [/mm]
jetzt nur noch rücksubstituieren, dann müsste es eigentlich klappen, denn es kürzt sich so weg, dass t nur noch im Nenner auftaucht. Wenn man die Abschätzung vor dem einmaligen part. Integrieren macht, wird es zu grob. Jedenfalls wenn ich mich nicht vertan habe.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | DesterX |
Vielen Dank Walde für deine Hilfe. :)
Die Idee mit der Abschätzung kam mir auch schon, nur waren meine immer viel zu grob. Deine wäre auf jeden Fall super,
allerdings zwei Dinge:
1. Ich glaube bei der partiellen Integratation ist leider ein kleiner Fehler unterlaufen, es müsste glaub ich heißen:
[mm] $\integral{2\bruch{e^x}{x^3} dx} =-\bruch{1}{x^2}e^x+\integral{\bruch{e^x}{x^2}} [/mm] \ dx.$
Würde dir in diesem Fall wieder so eine gute Abschätzung einfallen? Ich tue mich da gerade schwer.
2. Lässt sich so eine Abschätzung, die nicht für alle $x$ gilt, sondern wie hier zB nur für $x [mm] \ge [/mm] 4$, auf ein ganzes Integral übertragen? Letztlich integriere ich schließlich auch über $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4$.
Würd mich über eine Antwort sehr freuen. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi DesterX,
ich habe einfach u und v' bei der part. Integration anders gewählt als du 
mir ist aber trotzdem ein Fehler unterlaufen, also nochmal ordentlich:
[mm] \integral{\bruch{2}{x^3}e^x}
[/mm]
mit [mm] u(x)=\bruch{2}{x^3}=2x^{-3} [/mm] und [mm] v'(x)=e^x [/mm] und
[mm] u'(x)=-6x^{-4}=\bruch{-6}{x^4} [/mm] und [mm] v(x)=e^x
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{x^3}e^x-\integral{\bruch{-6}{x^4}e^x}=\bruch{2}{x^3}e^x+\integral{\bruch{6}{x^4}e^x}
[/mm]
Das wesentliche klappt noch: im Integranden steht [mm] x^4 [/mm] im Nenner und ausserhalb immerhin noch [mm] x^3 [/mm] im Nenner, das reicht noch um später gegen Null zu konvergieren.
Zur anderen Sache: [mm] $x\ge [/mm] 4$ heisst ja nach der Rücksubstitution [mm] \wurzel{2+s}\ge [/mm] 4, also [mm] $s\ge [/mm] 14$. Da t gegen unendlich läuft, wird es irgedwann natürlich grösser als 14 und du kannst aufteilten:
[mm] \frac{2+t}{\exp{(\sqrt{2+t})}}*\integral_0^t{\ldots}=\frac{2+t}{\exp{(\sqrt{2+t})}}*(\integral_0^{14}{\ldots}+ \integral_{14}^t{\ldots})
[/mm]
[mm] =\frac{2+t}{\exp{(\sqrt{2+t})}}*\integral_0^{14}{\ldots}+\frac{2+t}{\exp{(\sqrt{2+t})}}*\integral_{14}^t{\ldots} [/mm]
und da [mm] \integral_0^{14}{\ldots} [/mm] nur eine Zahl ist und [mm] \frac{2+t}{\exp{(\sqrt{2+t})}} [/mm] auch alleine gegen Null geht, macht das keine Probleme und für den anderen Teil kannst du getrost dann die Abschätzung verwenden.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 31.01.2011 | | Autor: | DesterX |
Herzlichen Dank, hast mir richtig weitergeholfen.
Viele Grüße, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 30.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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