Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert der Folge:
[mm] $c_n [/mm] := [mm] \left[ n \cdot \left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}\right)\right]$ [/mm] |
Ich hab dann schon mal so angefangen:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty}\left[ n \cdot \left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}\right)\right]$
[/mm]
Wenn ich mir mal da die innerste Klammer ansehe, dann kann man parallelen zum wichtigen Grenzwert [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ [/mm] erkennen, der ja bekanntlich $e$ ist. Unterschiedlich ist aber doch das Minus und der Exponent. Sprich ich weiß bei dieser Folge grad nicht mehr so weiter...
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze $f(x):= [mm] (1-x)^{42}$ [/mm] Dann ist
[mm] $c_n= [/mm] - [mm] \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n}
[/mm]
Nun denke an "Differenzenquotient" und "Ableitung"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Der Differenzenquotient ist ja so definiert: [mm] $\varphi(x_1,x_0) [/mm] = [mm] \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$
[/mm]
Aber woher weiß ich nun in welchem Intervall ich den dann anwenden soll?
Ich hab da mal ein bisschen mit dem rumgerechnet was du mir vorgegeben hast:
[mm] $c_n= [/mm] - [mm] \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n} [/mm] = ... = [mm] n\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) [/mm] -n$ Das ist dann aber ziemlich blödsinn... 
Was ich hier aber nun mit der Ableitung machen soll weiß ich nicht...; was ich aber weiß, dass der Differenzenquotient eingesetzt wird um näherungsweise die Ableitung einer Funktion zu bestimmen. Und vor allem: Wie kommst du darauf, dass man hier einfach $f(x) = [mm] (1-x)^{42}$ [/mm] setzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Der Differenzenquotient ist ja so definiert:
> [mm]\varphi(x_1,x_0) = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}[/mm]
>
> Aber woher weiß ich nun in welchem Intervall ich den dann
> anwenden soll?
>
>
>
> Ich hab da mal ein bisschen mit dem rumgerechnet was du mir
> vorgegeben hast:
> [mm]c_n= - \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n} = ... = \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
Nein, es ist $= [mm] -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}$
[/mm]
Aber das ist ja nicht wirklich was neues .....
Es gilt: [mm] $c_n= [/mm] - [mm] \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n} \to [/mm] -f'(0)$ für n [mm] \to \infty.
[/mm]
>
>
>
> Was ich hier aber nun mit der Ableitung machen soll weiß
> ich nicht...;
Siehe oben.
> was ich aber weiß, dass der
> Differenzenquotient eingesetzt wird um näherungsweise die
> Ableitung einer Funktion zu bestimmen.
> Und vor allem: Wie
> kommst du darauf, dass man hier einfach [mm]f(x) = (1-x)^{42}[/mm]
> setzt?
Nachdenken, ausprobieren, auf die Schnauze fallen, was anderes ausprobieren , ..., Erfahrung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Also geht das anscheinend so:
$ [mm] c_n= [/mm] - [mm] \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n} [/mm] = ... = [mm] -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}} [/mm] $
Jetzt folgt: $ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}} [/mm] $
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also geht das anscheinend so:
>
> [mm]c_n= - \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n} = ... = -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
>
> Jetzt folgt: [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
Ja was folgt ??? [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}= -f'(0)=42[/mm]
FRED
>
>
> Stimmt das soweit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}= [/mm] -f'(0)=42 $
Und genau diesen Schritt hab ich mir leider nicht mehr getraut. Denn: Wenn ich nun die Grenzbetrachtung von $ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}} [/mm] $ mache, dann der Nenner ja gegen 0. Und ab da ist doch dann das alles nicht mehr so toll oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}= -f'(0)=42[/mm]
>
> Und genau diesen Schritt hab ich mir leider nicht mehr
> getraut. Denn: Wenn ich nun die Grenzbetrachtung von
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
> mache, dann der Nenner ja gegen 0.
Der Zähler auch ....
> Und ab da ist doch dann
> das alles nicht mehr so toll oder?
Frage: Differentialrechnung , Ableitung , etc ... sagt Dir was ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Ah jetz hab ich das verstanden.
Der Differenzenquotient ist gleich der Ableitung f(x). f'(0)=42. Da f'(x) gleich dem differenzenquotient ist, folgt, dass auch der limes über $ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}-1}{\frac{1}{n}} [/mm] $ gleich 42 sein muss!
Jetzt stellt sich mir wirklich nur noch die Frage, wie du auf [mm] $f(x)=(x-1)^{42}$ [/mm] gekommen bist!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Di 29.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
> Jetzt stellt sich mir wirklich nur noch die Frage, wie du
> auf [mm]f(x)=(x-1)^{42}[/mm] gekommen bist!
Diese Frage hat Dir Fred doch bereits oben (zumindest indirekt) beantwortet.
In erster Linie hat Fred den gegebenen Term in einen Bruch umgewandelt mit einer Differenz im Zähler, um einen entsprechenden "Ableitungsbruch" zu erhalten.
Hierfür gehört halt viel Üben und dann die nötige Erfahrung.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Di 29.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechne den Grenzwert der Folge:
>
> [mm]c_n := \left[ n \cdot \left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}\right)\right][/mm]
>
> Ich hab dann schon mal so angefangen:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\left[ n \cdot \left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{42}\right)\right][/mm]
Hallo,
du kannst auch mit dem binomischemn Satz (wenigstens ansatzweise) arbeiten und erhältst
[mm] (1-\frac{1}{n})^{42}=1-\frac{42}{n}+\frac{...}{n^2}-...
[/mm]
Wenn man das von 1 subtrahiert und das Ergebnis mit n multipliziert, erhält man [mm] 42-\frac{...}{n}+\frac{...}{n^2}\pm... [/mm] ,
wovon bei der Grenzwertbildung nur die 42 übrig bleibt.
Gruß Abakus
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> Wenn ich mir mal da die innerste Klammer ansehe, dann kann
> man parallelen zum wichtigen Grenzwert
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}[/mm] erkennen, der ja bekanntlich
> [mm]e[/mm] ist. Unterschiedlich ist aber doch das Minus und der
> Exponent. Sprich ich weiß bei dieser Folge grad nicht mehr
> so weiter...
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> Könnt ihr mir helfen?
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