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| Aufgabe | Sei [mm] \eta\in C^{\infty}(\mathbb{R}) [/mm] mit [mm] \eta(x)=\begin{cases}
|x|, & |x|\geq1\\
\eta''\geq0, & \mbox{sonst.}\end{cases}
[/mm]
Sei [mm] k\in\mathbb{R} [/mm] fest und betrachte [mm] \eta_{\varepsilon}(x):=\varepsilon\eta(\frac{x-k}{\varepsilon}).
[/mm]
Dann gilt [mm] \eta_{\varepsilon}'(x)\rightarrow [/mm] sign(x-k) für [mm] \varepsilon\rightarrow0. [/mm] |
Hallo,
wenn ich [mm] \eta_{\varepsilon}'(x)=\eta'(\frac{x-k}{\varepsilon}) [/mm] habe und nun [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 gehen lasse, dann erhalte ich für beliebig kleines Epsilon doch immer [mm] \eta'(\frac{x-k}{\varepsilon})=\frac{d}{dx}|\frac{x-k}{\varepsilon}|. [/mm] Weil [mm] \varepsilon [/mm] positiv ist, hängt das Vorzeichen des Term im Betrag nicht von [mm] \varepsilon [/mm] ab, sodass das sicherlich gegen sign(x-k) läuft.
So ganz formal hab ich das aber noch nicht hinbekommen. Kann man das besser begründen, weil eigentlich geht ja für [mm] \varepsilon\rightarrow0 [/mm] der Term im Betrag gegen [mm] \pm\infty? [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Do 23.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
das ist ziemlich richtig.
Zwei Sachen:
- Hier hilft uns, daß x und k vorher bekannt sind, d.h. der Ablauf ist wie folgt:
1. Uns werden x und k bekannt gegeben [mm] ($x\neq [/mm] k$), für die die Ableitung berechnet werden soll.
2. Wir können jetzt ein *festes* [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] wählen, so daß *für alle* [mm] $\varepsilon\leq \varepsilon_0$ [/mm] gilt
[mm] $\eta_\varepsilon'(x)=\operatorname{sign}(x-k)$ [/mm]
(x war fest, aber in der Definition der Ableitung taucht x+h auf, also brauchen wir bei [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] etwas Spielraum)
3. Jetzt taucht [mm] $\varepsilon$ [/mm] im Term gar nicht mehr auf und dementsprechend haben wir kein Problem bei der Grenzwertbildung.
[mm] ($\lim_{\varepsilon\to 0}$ [/mm] ist das gleiche wie [mm] $\lim_{\substack{\varepsilon\to 0\\ \varepsilon\leq \varepsilon_0}}$ [/mm] -- wieso? =)
Such Dir eine Formel für [mm] $\varepsilon_0$, [/mm] dann schreib den doppelten Limes vollständig hin, und Du wirst sehen, daß Du an den Limites gar nicht rumwerkeln mußt.
- Was ist mit x=k?
ciao
Stefan
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Ah ok, das sieht gut aus. Das einzige, was mir noch etwas Probleme macht, ist das [mm] \varepsilon_{0}. [/mm] Normalerweise könnte ich ja für [mm] x\neq [/mm] k einfach [mm] |x-k|>\varepsilon_{0} [/mm] wählen. Das gewährleistet tatsächlich dann nicht, dass [mm] |x+h-k|\geq\varepsilon_{0} [/mm] ist. Nun kann ich das [mm] \varepsilon_{0} [/mm] nicht abhängig von h machen, weil es ja fest sein soll und h nicht fest ist. Wie bekommt man das hin?
Auf jeden Fall gilt dann ja [mm] \underset{\varepsilon\rightarrow0}{\mbox{lim}}\eta_{\varepsilon}'(x)=\underset{\underset{\varepsilon\leq\varepsilon_{0}}{\varepsilon\rightarrow0}}{\mbox{lim}}\underset{h\rightarrow0}{\mbox{lim}}\frac{\varepsilon(|\frac{x+h-k}{\varepsilon}|-|\frac{x-k}{\varepsilon}|)}{h}=\underset{\underset{\varepsilon\leq\varepsilon_{0}}{\varepsilon\rightarrow0}}{\mbox{lim}}\underset{h\rightarrow0}{\mbox{lim}}\frac{|x+h-k|-|x-k|}{h}, [/mm] was das Gewünschte ist. Da ja [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 geht, also beliebig klein wird, reicht es aus alle [mm] \varepsilon\leq \varepsilon_{0} [/mm] zu betrachten.
Und naja für x=k ist es offensichtlich, dass [mm] \eta_{\varepsilon}'(x)=\varepsilon\eta(0)\rightarrow0=sign(x-k).
[/mm]
Bleibt nur das Problem mit dem [mm] \varepsilon_{0}. [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Do 23.06.2011 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
> Das gewährleistet tatsächlich dann nicht, dass $ |x+h-k|\geq\varepsilon_{0} $ ist.
Doch tut es, weil der Grenzwert $\lim_{h\to 0}$ als erstes abgearbeitet wird (er ist der innere). Solange $|x-k|>\varepsilon_0$, d.h. echt größer, wird h früher oder später klein genug.
> Und naja für x=k ist es offensichtlich, dass $ \eta_{\varepsilon}'(x)=\varepsilon\eta(0)\rightarrow 0=sign(x-k). $
Das stimmt so nicht.
$\left. \frac d{dx}\eta_{\varepsilon}'(x)\right|_{x=k}=\ldots$
$\eta(x)$ ist überall diffbar, also kann man $\eta_\varepsilon$ mit den üblichen Rechenregeln für alle $x\in\IR$ ableiten.
ciao
Stefan
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> Hi,
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> > Das gewährleistet tatsächlich dann nicht, dass
> [mm]|x+h-k|\geq\varepsilon_{0}[/mm] ist.
>
> Doch tut es, weil der Grenzwert [mm]\lim_{h\to 0}[/mm] als erstes
> abgearbeitet wird (er ist der innere). Solange
> [mm]|x-k|>\varepsilon_0[/mm], d.h. echt größer, wird h früher
> oder später klein genug.
>
> > Und naja für x=k ist es offensichtlich, dass
> [mm]\eta_{\varepsilon}'(x)=\varepsilon\eta(0)\rightarrow 0=sign(x-k).[/mm]
>
> Das stimmt so nicht.
>
> [mm]\left. \frac d{dx}\eta_{\varepsilon}'(x)\right|_{x=k}=\ldots[/mm]
>
> [mm]\eta(x)[/mm] ist überall diffbar, also kann man
> [mm]\eta_\varepsilon[/mm] mit den üblichen Rechenregeln für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] ableiten.
>
>
> ciao
> Stefan
Ok dann steht da sowas [mm] \frac{d}{dx}\eta_{\varepsilon}(x)=\frac{d}{dx}\varepsilon\eta(\frac{x-k}{\varepsilon})=\eta'(\frac{x-k}{\varepsilon}). [/mm] Aber damit bekomme ich dann doch für x=k auch nicht, dass das gegen 0 läuft. Oder vertauscht der Grenzwert irgendwie mit der Ableitung, also etwa so [mm] \underset{\varepsilon\rightarrow\infty}{\lim}\frac{d}{dx}\eta_{\varepsilon}(x)=\frac{d}{dx}\underset{\varepsilon\rightarrow\infty}{\lim}\eta_{\varepsilon}(x)=\frac{d}{dx}\underset{\varepsilon\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon\eta(\frac{x-k}{\varepsilon}). [/mm] Würde ich jetzt x=k setzen, dann stünde da doch [mm] \frac{d}{dx}\underset{\varepsilon\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon\eta(0)=0, [/mm] aber das erscheint mir irgendwie falsch. Außerdem wüsste ich nicht, warum Ableitung und Grenzwert vertauschen sollten.
Habe ich mich da jetzt verrechnet?
Und noch etwas: Ich habe jetzt eine Funktion [mm] F_{\varepsilon}(x):=\int_{k}^{x}\eta'_{\varepsilon}(s)f'(s)ds, [/mm] wobei f irgendeine hinreichend glatte Funktion sei.
Dann gilt mit der obigen Berechnung für [mm] \varepsilon\rightarrow0:
[/mm]
[mm] F_{\varepsilon}(x)\rightarrow [/mm] sgn(x-k)(f(x)-f(k)). Warum genau vertauscht da der Grenzwert aber mit dem Integral? Muss dafür nicht sowas wie gleichmäßige Konvergenz von [mm] \eta_{\varepsilon} [/mm] vorliegen? Das habe ich doch dann aber oben garnicht gezeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 14.08.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
boah das ist lange her, aber iirc war das mit $x=k$ ne echte Frage und nicht sokratische Methode.
x=k:
[mm] $\eta_\varepsilon'(x)=\eta'\left(\frac{x-k}\varepsilon\right)=\eta'(0)$
[/mm]
und das muß nicht 0 sein.
EDIT: Es geht gegen überhaupt nix, weil [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht auftaucht. Entweder ist es 0 oder nicht.
Nur hast Du darauf Deine Frage selbst beantwortet: Das ganze taucht nur im Integral auf, also ist der Wert bei x=k irrelevant.
> [mm] $\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{k}^{x}\eta'_{\varepsilon}(s)f'(s)ds, [/mm] $
Ich würd sagen majorisierte Konvergenz, um den Grenzwert reinzuziehen.
ciao
Stefan
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