Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mo 21.11.2011 | | Autor: | danesgu |
hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
folgende grenzwerte sollen berechnet und ihre existenz begründet werden.
a) [mm] \limes_{x\to \inft2}(x^{10}-2^{5}x^{5}+2x^{2}-1)
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\to \inft-2}\bruch{x^{4}-3x^{2}+9}{2x+1}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\to \inft-1}\bruch{(x+1)^{10}}{x^{2}}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\to \inft1^+}\bruch{-2x^2+2}{(x^2+1)^3}
[/mm]
e) [mm] \limes_{x\to \inft0}x^3(3+\bruch{5}{x^2}-\bruch{2}{x^3})
[/mm]
woher weiß ich nun, wann ich lediglich einsetzen muss und wann nicht? es geht mir darum, es immer zu begründen.
mein vorschlag
a) nur einsetzen, da hintereinanderausführung von polynomfunktion? wenn ja, wieso?
e) zuerst ausmultiplizieren, da sonst division durch 0? das wird als begründung aber nicht reichen...
etwas mit rationalfunktion gibt es auch noch.
danke für eure hilfe.
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Hallo danesgu,
eigentlich ist doch bei keiner dieser Aufgaben eine Grenzwertbetrachtung nötig.
> folgende grenzwerte sollen berechnet und ihre existenz
> begründet werden.
>
> a) [mm]\limes_{x\to \inft2}(x^{10}-2^{5}x^{5}+2x^{2}-1)[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\to \inft-2}\bruch{x^{4}-3x^{2}+9}{2x+1}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{x\to \inft-1}\bruch{(x+1)^{10}}{x^{2}}[/mm]
>
> d) [mm]\limes_{x\to \inft1^+}\bruch{-2x^2+2}{(x^2+1)^3}[/mm]
>
> e) [mm]\limes_{x\to \inft0}x^3(3+\bruch{5}{x^2}-\bruch{2}{x^3})[/mm]
>
>
> woher weiß ich nun, wann ich lediglich einsetzen muss und
> wann nicht? es geht mir darum, es immer zu begründen.
Wenn an der Stelle der Grenzwertbetrachtung eine unerlaubte Rechenoperation vorkommt, dann muss man genauer werden und das Instrumentarium, das man dazu lernt (kommt vielleicht bei Euch erst noch), darauf in geeigneter Weise loslassen.
> mein vorschlag
> a) nur einsetzen, da hintereinanderausführung von
> polynomfunktion? wenn ja, wieso?
Bei a)-d) ergibt sich kein Problem. Die Ausdrücke sind an der jeweilig betrachteten Stelle genau definiert - und wenn man sie als Funktion betrachtet, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig. a) und d) sind sogar überall stetig, b) ist es nicht bei [mm] x=-\tfrac{1}{2} [/mm] und c) nicht bei x=0. Gerade diese Stellen werden aber gar nicht betrachtet.
> e) zuerst ausmultiplizieren, da sonst division durch 0? das
> wird als begründung aber nicht reichen...
Doch, das reicht. Hier macht der Grenzwert noch am ehesten Sinn. Solange [mm] x\not=0 [/mm] ist, kannst Du ausmultiplizieren. Danach ist die Funktion wieder eine komplett stetige und Du kannst die Grenzwertbetrachtung bei x=0 durchführen. Du hast die einzige Definitionslücke der Funktion geschlossen. Das nennt man "stetige Ergänzung".
> etwas mit rationalfunktion gibt es auch noch.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Ich weiß nicht, was Du meinst, aber Du brauchst es hier sicher nicht.
> danke für eure hilfe.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 22.11.2011 | | Autor: | danesgu |
hallo reverend!
ich glaub, dass die jeweilige erklärung irgendwas mit den rechenregeln von grenzwerten zu tun hat.
trotzdem danke.
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