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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Mi 08.02.2012
Autor: fernweh

Aufgabe
Berechne den Grenzwert:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \vektor{n \\ k } $\frac{1}{n^k} [/mm]

Hallo zusammen

Also eigentlich ist mir klar, dass der Grenzwert $ [mm] \frac{1}{k!} [/mm] $ ist, aber ich habe Mühe, das zu formulieren.

Kann ich das einfach auseinander nehmen und sagen, dass jeder einzelne Faktor gegen 1 geht?

Also
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \vektor{n \\ k } \frac{1}{n^k} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{k!}*\frac{n}{n}*\frac{n-1}{n}* [/mm] ... * [mm] \frac{n-k+1}{n}*\frac{(n-k)!}{(n-k)!}) [/mm] $

Und da nun $ [mm] n\rightarrow\infty [/mm] $, ist geht jeder Faktor gegen 1 ausser der erste, also geht das Produkt gegen den ersten Faktor, also ist die Lösung  [mm] $\frac{1}{k!}$. [/mm]

Oder gibt es eine bessere Erklärung?

Gruess

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Mi 08.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

im Prinzip ist das ausreichend argumentiert. Die Brüche

[mm] \bruch{n-1}{n} [/mm]

bis

[mm] \bruch{n-k+1}{n} [/mm]

werden dabei üblicherweise noch zerlegt zu

[mm] 1-\bruch{1}{n}, 1-\bruch{2}{n}, [/mm] ...

das macht das Konvergenzverhalten unmittelbar ersichtlich.

Gruß, Diophant  

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Mi 08.02.2012
Autor: fernweh

Super, hab vielen Dank :)

Gruess

Bezug
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