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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) [mm] \limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1} [/mm] |
Guten morgen.
ich wollte fragen, ob meine Ansätze richtig sind.
[mm] \limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n+\wurzel{n^2-n+1}}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n+1}{n+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm]
wenn es richtig ist, wie mache ich es weiter. brauche eine 100% richtige Aufschreibung. Meine Übungsleiter ziehen mir immer punkte ab, weil ich es nicht richtig aufschreibe, aber die zeigen mir auf den Zettel nicht wie ich das schreiben soll. Mein Vorschlag wäre im Zähler n ausklammern und im Nenner auch, aber das hab ich ja bei einer anderen Übung auch gemacht haben die keine volle Punktzahl gegeben ohne Begründung. (entweder weil es falsch war oder keine ahnung) Laut meinem Übungsleiter müsste der Grenzwert dieser Aufgabe bei 0 liegen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 08.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
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> a) [mm]\limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1}[/mm]
> Guten morgen.
> ich wollte fragen, ob meine Ansätze richtig sind.
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1}[/mm]
= [mm]\limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1}[/mm]
> * [mm]\bruch{n+\wurzel{n^2-n+1}}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n+1}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm]
>
Da sind schon 2 Sachen drin, die nicht O.K. sind: Du hast Klammern vergessen und am Ende steht im Zähler n-1, also
[mm]\limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1}[/mm] =
[mm]\limes_{n \to \infty}(n-\wurzel{n^2-n+1})[/mm] *[mm]\bruch{n+\wurzel{n^2-n+1}}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm] =
[mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm]
> wenn es richtig ist, wie mache ich es weiter. brauche eine
> 100% richtige Aufschreibung. Meine Übungsleiter ziehen mir
> immer punkte ab, weil ich es nicht richtig aufschreibe,
> aber die zeigen mir auf den Zettel nicht wie ich das
> schreiben soll. Mein Vorschlag wäre im Zähler n
> ausklammern und im Nenner auch,
Genau
> aber das hab ich ja bei
> einer anderen Übung auch gemacht haben die keine volle
> Punktzahl gegeben ohne Begründung. (entweder weil es
> falsch war oder keine ahnung)
> Zeig mal Deine witeren Schritte.
> Laut meinem Übungsleiter
> müsste der Grenzwert dieser Aufgabe bei 0 liegen.
Da irrt der Übungsleiter und kriegt von mir 0 Punkte für diese Aufgabe
FRED
>
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mein nächster Schritt:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1)+\wurzel{n^2-n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(1-\bruch{1}{n})}{1+\wurzel{n^2-n+1}}
[/mm]
nun würd ich im Nenner [mm] n^2 [/mm] ausklammern, aber hätte das Problem, dass ich es nicht kürzen könnte..
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Hi!
> mein nächster Schritt:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1)+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm]
Du machst hier einen sehr groben Fehler beim ausklammern!
Ist denn etwa: $xa+b=x(a+b)$ ?
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(1-\bruch{1}{n})}{1+\wurzel{n^2-n+1}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> nun würd ich im Nenner [mm]n^2[/mm] ausklammern, aber hätte das
> Problem, dass ich es nicht kürzen könnte..
[mm] $n^2$ [/mm] auszuklammern ist der richtige Schritt, den du gleich hättest einschlagen sollen.
Wenn du richtig ausklammerst, kommst du damit weiter.
Valerie
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wenn ich [mm] n^2 [/mm] ausklammere,
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+ n^2 \wurzel{1- \bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n^2}}} [/mm] oder das selbe aber [mm] n^2 [/mm] noch in die Wurzel?
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Hallo,
> wenn ich [mm]n^2[/mm] ausklammere,
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n+ n^2 \wurzel{1- \bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n^2}}}[/mm]
> oder das selbe aber [mm]n^2[/mm] noch in die Wurzel?
Ganz ehrlich: wenn man nur diese Frage liest, versteht man außer Bahnhof nix. Valerie hat dich darauf aufmerksam gemacht, dass man n aus dem gesamten Nenner ausklammern muss, und falls deine obige Frage lauten sollte, ob du [mm] n^2 [/mm] jetzt aus der Wurzel richtig herausgezogen hast ist die Antwort: nein. Es ist [mm] \wurzel{a*b}=\wurzel{a}*\wurzel{b} [/mm] für nichtnegative a,b und das hast du nicht beachtet. Vereinfacht gesprochen: wenn man den Faktor [mm] n^2 [/mm] aus einer Quadratwurzel herauszieht, muss man selbstverständlich radizieren.
Gruß, Diophant
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okay ich werde es mal gleich in ruhe rechnen und es mit anderen Studenten vergleichen.
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Hallo ellegance,
es geht auch noch anders.
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
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> a) [mm]\limes_{n \to \infty}n-\wurzel{n^2-n+1}[/mm]
>
> Laut meinem Übungsleiter
> müsste der Grenzwert dieser Aufgabe bei 0 liegen.
Vielleicht verwechselt da jemand Aufgaben (Du oder er). Ansonsten ist die Lösung falsch, wie Fred ja auch schon gaaaaanz vorsichtig andeutete. 
Ein alternativer Weg geht hier über quadratische Ergänzung und Substitution:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(n-\wurzel{n^2-n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(n-\wurzel{\left(n^2-n+\bruch{1}{4}\right)+\bruch{3}{4}}\right)= \lim_{n\to\infty}\left(n-\wurzel{\left(n-\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{3}{4}}\right)=\cdots
[/mm]
Jetzt ersetzen wir mal [mm] k:=n-\bruch{1}{2} [/mm] und haben
[mm] \cdots=\lim_{k\to\infty}\left(k+\bruch{1}{2}-\wurzel{k^2+\bruch{3}{4}}\right)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Wurzel geht für wächsendes k gegen k.
Das sollte normalerweise auch reichen, sauberer ist es auch hier mit Ausklammern, also dem Zwischenschritt
[mm] \cdots=\lim_{k\to\infty}\left(\bruch{1}{2}+k*(1-\wurzel{1+\bruch{3}{4k^2}}\right)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Nachtrag, weil es sowieso gleich jemand bemängeln wird:
woher wissen wir eigentlich, dass der rechte Term gegen Null geht? k wird größer, die Klammer [mm] (1-\wrzel{}) [/mm] kleiner. Nur wieso soll das gegen Null laufen?
Das ist in der Tat nur mit der Methode zu zeigen, die Du ja anwenden willst, Erweiterung durch 3. binomische Formel.
Aber so wie oben kann man schnell "überschlagen", wie der Grenzwert aussehen wird.
Grüße
reverend
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