Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(n+1)^4^2}{(n^6-1)^7} [/mm] |
Hallo,
Ich komme bei diesem Grenzwert nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich den ersten Schritt machen soll. Den Zähler mit der binomischen Formel einer 42er Potenz auszuklammern wäre bestimmt falsch, hier gibt es bestimmt einen Trick oder?
im Nenner habe ich ja [mm] n^6 [/mm] und als Potenz der Klammer habe ich hoch 7. wenn man die multiplizieren würde hätte ich auch 42 raus, aber irgendwie scheint es alles falsch zu sein..
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+1)^4^2}{(n^6-1)^7}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich komme bei diesem Grenzwert nicht weiter. Ich weiß
> nicht, wie ich den ersten Schritt machen soll. Den Zähler
> mit der binomischen Formel einer 42er Potenz auszuklammern
> wäre bestimmt falsch, hier gibt es bestimmt einen Trick
1. [mm] (n+1)^{42}= (n(1+1/n))^{42}=n^{42}*(1+1/n)^{42}
[/mm]
2. [mm] n^6-1=n^6(1-\bruch{1}{n^6})
[/mm]
... jetzt das noch "hoch" 7.
FRED
> oder?
> im Nenner habe ich ja [mm]n^6[/mm] und als Potenz der Klammer habe
> ich hoch 7. wenn man die multiplizieren würde hätte ich
> auch 42 raus, aber irgendwie scheint es alles falsch zu
> sein..
>
|
|
|
| |
|
Okay, wenn ich diesen Eintrag [mm] n^6(1-\bruch{1}{n^6}) [/mm] "hoch" 7 machen würde würde doch [mm] n^{42}(1-\bruch{1}{n^4^2}) [/mm] ,
neee das ist auch falsch.
[mm] \bruch{n^4^2 (1+\bruch{1}{n})^4^2}{n^4^2(1-\bruch{1}{n^6)}^4^2}
[/mm]
dann kürzt sich alles weg bis auf
$ [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})}{(1-\bruch{1}{n^6)}} [/mm] $ dann n gegen unendlich und als Grenzwert hätte man 1 raus oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay, wenn ich diesen Eintrag [mm]n^6(1-\bruch{1}{n^6})[/mm] "hoch"
> 7 machen würde würde doch [mm]n^{42}(1-\bruch{1}{n^4^2})[/mm] ,
> neee das ist auch falsch.
Ja, das ist falsch. Denn mit der gleichen Logik ist [mm] 5^2=13. [/mm] Beweis:
[mm] 5^2=(2+3)^2=2^2+3^2=4+9=13
[/mm]
Du musst ein ganz klein wenig gründlicher werden in deinen Überlegungen, auch wenn sich dein Denkfehler hier nicht auf den Grenzwert auswirkt. Richtig heißt es
[mm] \left(n^6*\left(1-\bruch{1}{n^6}\right)\right)^7=n^{42}*\left(1-\bruch{1}{n^6}\right)^7
[/mm]
Und das reicht dir ja auch aus, die Hauptsache ist, dass die Klammer gegen 1 strebt, und das tut sie.
>
> [mm]\bruch{n^4^2 (1+\bruch{1}{n})^4^2}{n^4^2(1-\bruch{1}{n^6)}^4^2}[/mm]
>
> dann kürzt sich alles weg bis auf
>
> [mm]\bruch{(1+\bruch{1}{n})}{(1-\bruch{1}{n^6)}}[/mm] dann n gegen
> unendlich und als Grenzwert hätte man 1 raus oder?
Wie gesagt, mit der richtigen Argumentation versehen passt es, also der Grenzwert ist richtig.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
