Grenzwert - Verständnis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebes Forum,
Ich habe mich heute mit Stetigkeit befasst und habe folgendes hier im Forum entdeckt https://vorhilfe.de/read?i=1006374
Es geht mir um das Verständnis solcher Betrachtungen. Beispiel aus der Link $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x\cdot{}\ln(x)=-\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{e^y}. [/mm] Die Umwandlung für die Vorraussetzung von de L'Hôpital sowie der Rest ist mir klar. Es geht mir darum, dass er einen anderen Term einsetzt und damit auch die Richtung des Grenzwertes ändert ohne das Ergebnis zu verändern. Ich habe darüber nachgedacht und bin zu folgendem Entschluss gekommen. ich würde mich freuen wenn sich das jemand angucken könnte.
Wenn der Grenzwert einer Folge existiert dann existiert dieser auch für jede Teilfolge und stimmt überein. sagen wir wir betrachten eine folge [mm] a_n [/mm] und deren Grenzwert n gegen * (Stern kann irgendwas sein aus IR). wenn wir nun zeigen wollen dass [mm] a_n [/mm] gegen c konvergiert, dann müsste das für jede teilfolge gelten. wir können also eine teilfolge nehmen, die auch gegen c konveriert für n gegen *. Wenn wir das nun substituieren, dann ändert sich der Übergang. Meine Frage ist, woher weiß ich gegen welche Richtung? Und muss es eine Teilfolge sein oder geht auch eine andere folge, die auch für n gegen * gegen c konvergiuert? bin ich richtig oder daneben?
Meine nächste Frage ist, wie kommt man auf solche Substitutionen kann man diese nur durchführen wenn wir der grenzwert erahnen?
Tut mir leid für den langen Text. Ich hoffe, dass ich mich ansatzweise mathematisch korrekt ausdrücken konnte.
Liebe Grüße, Björn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:55 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du sprichst da sehr viele Dinge an, und einige scheinen etwas durcheinander zu gehen; vielleicht können wir das ein wenig entwirren.
> Hallo liebes Forum,
>
> Wenn der Grenzwert einer Folge existiert dann existiert
> dieser auch für jede Teilfolge und stimmt überein.
Das ist vollkommen richtig.
> sagen
> wir wir betrachten eine folge [mm]a_n[/mm] und deren Grenzwert n
> gegen * (Stern kann irgendwas sein aus IR).
Diese Aussagen sind sinnlos.
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] hat für jede natürliche Zahl n einen Wert, so etwas wie [mm] \limes_{n\rightarrow 5,32}a_n [/mm] kann es daher nicht geben. Für Folgen ist lediglich die Betrachtung des Verhaltens der Folge für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] und die Frage, ob der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] existiert, interessant.
> wenn wir nun
> zeigen wollen dass [mm]a_n[/mm] gegen c konvergiert, dann müsste
> das für jede teilfolge gelten. wir können also eine
> teilfolge nehmen, die auch gegen c konveriert für n gegen
> *.
Richtig ist Folgendes:
Wenn der Grenzwert [mm] c=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] existiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] gegen c (das hattest du ja oben schon festgestellt). Die Umkehrung ist (trivialerweise) ebenfalls richtig : wenn jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] gegen c konvergiert, dann trifft das auch auf [mm] (a_n) [/mm] zu.
Falsch ist es jedoch, anzunehmen, dass sich aus der Konvergenz einer einzigen Teilfolge gegen c bereits die Konvergenz der ganzen Folge ergeben würde.
> Wenn wir das nun substituieren, dann ändert sich der
> Übergang. Meine Frage ist, woher weiß ich gegen welche
> Richtung? Und muss es eine Teilfolge sein oder geht auch
> eine andere folge, die auch für n gegen * gegen c
> konvergiuert? bin ich richtig oder daneben?
Jetzt nähern wir uns glaube ich deinem eigentlichen Thema, nämlich der Konvergenz von Funktionen. Allerdings hängen diese beiden Themen zusammen.
Zunächst zur Klärung des Zusammenhangs :
Die Schreibweise [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)=d [/mm] bedeutet Folgendes :
Wir betrachten Folgen [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0 [/mm] (das entspricht unserem c von oben) und außerdem die zugehörigen Folgen [mm] (y_n) [/mm] mit [mm] y_n=f(x_n). [/mm] Wenn nun für jede solcher Folge [mm] (x_n) [/mm] die zugehörige Folge [mm] (y_n) [/mm] einen Grenzwert hat und alle diese Grenzwerte übereinstimmen und gleich d sind, dann wird das durch die Schreibweise [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)=d [/mm] zum Ausdruck gebracht. d kann dabei aus [mm] \IR [/mm] sein oder auch [mm] \pm\infty. [/mm] f heißt stetig an der Stelle [mm] x_0, [/mm] falls [mm] f(x_0)=d [/mm] ist.
Jetzt zur Frage der Substitution :
Manchmal kann man die Untersuchung der Existenz und die eigentliche Berechnung des Grenzwertes [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm] dadurch vereinfachen, dass x mit Hilfe einer stetigen, umkehrbaren Funktion g durch z substituiert wird gemäß der Vorschrift $ x=g(z) $ bzw. [mm] z=g^{-1}(x). [/mm] Weil g stetig ist, ist [mm] x\rightarrow\ x_0 [/mm] gleichwertig mit [mm] z\rightarrow\ z_0 [/mm] wobei [mm] z_0=g^{-1}(x_0) [/mm] ist. Es wird dann [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=\limes_{z\rightarrow z_0}f(g(z))=\limes_{z\rightarrow z_0}h(z) [/mm] und oft ist diese Funktion h eben leichter in den Griff zu bekommen als f.
Betrachten wir mal das Beispiel aus der von dir zitierten Diskussion.
Dort war $ f(x)=x*ln(x) $ und [mm] x_0=0, [/mm] es ging also um die Untersuchung von [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x). [/mm] Mit der Substitution [mm] x=g(z)=e^{-z} [/mm] bzw. [mm] z=g^{-1}(x)=-ln(x) [/mm] erhalten wir daraus zunächst [mm] z_0=-ln(0)=-(-\infty)=\infty [/mm] und [mm] h(z)=f(g(z))=g(z)*ln(g(z))=e^{-z}*(-z)=-\bruch{z}{e^z} [/mm] und also [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)=\limes_{z\rightarrow\infty}-\bruch{z}{e^z}=-\limes_{z\rightarrow\infty}\bruch{z}{e^z}.
[/mm]
> Meine nächste Frage ist, wie kommt man auf solche
> Substitutionen kann man diese nur durchführen wenn wir der
> grenzwert erahnen?
Man muss solche Funktionen g ausprobieren, bei denen am Ende h einfacher wird als f. Da hilft viel Erfahrung.
> Tut mir leid für den langen Text. Ich hoffe, dass ich
> mich ansatzweise mathematisch korrekt ausdrücken konnte.
>
> Liebe Grüße, Björn
>
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hallo Sax und Marcel,
Ich will mich zunächst nochmal bei euch bedanken!
Ich habe das Prinzip verstanden, aber leider kann ich mir keine guten Aufgaben dazu basteln. Im folgenden werde ich eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Ich werde dabei leider immer wieder annehmen müssen dass ich den Grenzwert schon kenne. Das liegt daran, dass ich mir kein besseres Beispiel basteln kann. Ich will nur wissen ob ich es verstanden habe.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}e^x=???????
[/mm]
Sub. x:=g(z)=ln(z), daras folgt [mm] z=e^x, [/mm] also [mm] \limes_{x\rightarrow 0}e^x=\limes_{z\rightarrow e^{x_0}}e^{ln(z)}\limes_{z\rightarrow 1}e^{ln(z)}=\limes_{z\rightarrow 1}z=1
[/mm]
Ich bin nun in meinem "Beweis davon ausgegangen, dass [mm] e^0=1 [/mm] ist, aber wie gesagt, es geht mir nur um das Prinzip! Ist das so richtig? Könntet ihr mir eventuell eine Aufgabe basteln dazu? Ich selber probiere mir eine selber zu stellen aber komme nicht auf was gutes. Mich würde nur interessieren ob es immer eine Art Umkehrabbildung der Funktion sein muss, oder ob es auch andere Varianten gibt. Ich komme auf diese Frage, da Marcel von ganz anderen - schlechten - Substitutionen gezeigt hat.
EDIT: Ich glaube, dass ich die Aufgabe von dem Link ähnlich lösen kann, aber ich habe nun eine neue Frage..
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)=??
[/mm]
[mm] x:=e^z, [/mm] also folgt z=ln(x) und damit [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)=\limes_{z\rightarrow ln(x_0)}e^z*ln(e^z)=\limes_{z\rightarrow -\infty}e^z*z
[/mm]
Wenn ich nun die Exponenzialreihe darstellen würde, könnte ich abschätzen, aber nicht mehr nach unten, denn damit würde ich den Bruch kleiner machen.Wann genau darf ich das mit dem Abschätzen bei Grenzwerten machen? Wieso darf er das dort machen?
Danke Euch!
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Sa 01.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Gw hilft Abschätzen nur um Konvergenz zu zeigen, nicht den GW zu bestimmen,
wenn du hier die Reihe für [mm] e^{-z} [/mm] im Nenner einsetz und dann durch z dividierst, findest du den GW direkt.
(übrigens x*lnx=lnx/(1/x) ist ohne Umformung mit L'Hopital am schnellsten)
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> bei Gw hilft Abschätzen nur um Konvergenz zu zeigen,
> nicht den GW zu bestimmen,
Hi, nochmal ne Frage zu dieser Aussage.
Also sind Aussage wie [mm] 1/(n+1)<1/n\to [/mm] 0, [mm] n\to\infty [/mm] eigentlich falsch? Mit falsch meine ich als "Beweis" falsch. Man kann eigt nur sowas sagen wie [mm] 1/(n+1)<1/n<\infty [/mm] daraus folgt konvergenz?
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Sa 01.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, die Aussagen sind richtig, vielleicht gehört noch dazu 1/(n+1>0
wenn man weiß, dass 1/n gegen 0 konvergiert ist das ein Beweis dafür, dass das vordere gegen 0 konvergiert.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nochmal ergänzend:
> EDIT: Ich glaube, dass ich die Aufgabe von dem Link
> ähnlich lösen kann, aber ich habe nun eine neue Frage..
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)=??[/mm]
>
> [mm]x:=e^z,[/mm] also folgt z=ln(x) und damit [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)=\limes_{z\rightarrow ln(x_0)}e^z*ln(e^z)=\limes_{z\rightarrow -\infty}e^z*z[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein paar Worte dazu:
Bei $\lim_{x \to 0}x*\ln(x)$ ist in deutlicherer Wahrheit
$\lim_{0 < x \to 0}x *\ln(x)$
gemeint - wieso behaupte ich das einfach mal so?
Warum sage ich das?
Nunja, allgemein kannst Du bei
$x \to 0$
nicht einfach $x:=e^z$ setzen. Man kann sich da zwar behelfen, aber nur mit
dieser Substitution geht es nicht... weil...?
Kommen wir also zurück zu oben:
Seien $x_n$ mit $0 < x_n \to 0.$ Dann gilt mit
$z_n:=\ln(x_n)$
schon $z_n \to -\infty.$ (Wo bekämen wir denn schon Probleme, wenn wir nicht $x_n > 0$ hätten?)
Dann gilt
$\lim_{n \to \infty}x_n \ln(x_n)=\lim_{n \to \infty}e^{z_n}*z_n=\lim_{n \to \infty} z_n e^{z_n}\,.$
Zeigst Du nun
$\lim_{t \to -\infty} t*e^{t}=g$
so bedeutet das:
Für alle Folgen $(t_n)_n$ mit $t_n \to -\infty$ folgt
$\lim_{n \to \infty}t_n*e^{t_n}=g.$
Weil aber $(z_n)_n$ insbesondere eine Folge mit $z_n \to -\infty$ ist, folgt damit
dann auch
$\lim_{n \to \infty}z_n e^{z_n}=g.$
Und
$\lim_{t \to -\infty}\frac{e^t}{t}=0$
kann man auf verschiedene Arten einsehen: Die wohl einfachste:
Die Funktion
$\left.\exp\right|_{(-\infty,0]}$
ist (offensichtlich) nach oben beschränkt. Daraus folgt...
Eine andere:
$\lim_{t \to -\infty}\frac{e^t}{t}=\lim_{\tilde{t}\to \red{+}\infty} \frac{e^{-\,\tilde{t}}}{-\,\tilde{t}}=-\lim_{\tilde{t}\to \red{+}\infty} \frac{1}{\tilde{t}*e^{\tilde{t}}}.$
Und am Ende strebt der Nenner offensichtlich gegen $\infty,$ also wie geht das
wohl zu Ende?
Du kannst aber gerne auch Alternativen vorschlagen, oder auch nachfragen,
wenn etwas unklar ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:37 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bjoern,
Sax hat ja schon sehr viel gesagt, vielleicht einfach mal
kurz zur Ergänzung:
Wenn Du
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=g$
[/mm]
zeigen willst, so kannst Du das (kurzgesagt) einfach machen,
indem Du zeigst:
Sind [mm] $x_n\not=x_0$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] so folgt (nur mit diesem
Wissen) schon
[mm] $f(x_n) \to [/mm] g.$
(D.h. für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0$ [/mm] ist [mm] $f(x_n) \to [/mm] g$
nachzuweisen.)
Wenn Du substituierst, so solltest Du Dich immer fragen,
ob Du das obige damit zeigen kannst.
Beispiel: Nehmen wir an, Du wolltest
[mm] $\lim_{x \to 0} \sin(x)=0$
[/mm]
beweisen. Würdest Du nun sagen, dass Du
[mm] $x:=|y|\,$
[/mm]
substituierst, so wäre das nicht zielführend:
Ist etwa $0 > [mm] x_n \to [/mm] 0,$ so kann obige Substitution diesen
Sachverhalt nicht erfassen.
Du musst halt immer bedenken, was Du haben willst: Wenn Du
etwa
[mm] $\lim_{x \to 5}f(x)$
[/mm]
haben willst, dann ist doch bspw.
[mm] $x:=\sin(y)$
[/mm]
eine sehr schlechte Wahl, die Dir hier nicht helfen kann.
Denn wie sollte es überhaupt nur eine Folge von Werten [mm] $y_n$ [/mm] mit
[mm] $sin(y_n) \to [/mm] 5$ geben?
Kurzgesagt: Immer überlegen, was mit der Substitution alles
noch klappt, und wenn man keine (wesentlichen) Einschränkungen
hat, dann war sie wohl gut (sofern man nichts anderes übersieht).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Guten Morgen, ich danke euch für eure ausführliche Antworten. Ich muss mir das hier erst durch den Kopf gehen lassen und schreibe dazu bald. Danke!
LG, Björn
|
|
|
|
