Grenzwert - gibt es einen? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{m}{1-x^m}-\bruch{n}{1-x^n}
[/mm]
für beliebige natürliche Zahlen m, n [mm] \ge [/mm] 1. Hinweis: Auch hier hilft es x = 1+t zu setzen und [mm] t\rightarrow0 [/mm] zu betrachten. Für die Potenzen [mm] x^k [/mm] = (1 + [mm] t)^k [/mm] benutze man den Binomischen Satz. |
Ich gehe zunächst nach dem vorgegebenen Schema vor, und erhalte somit:
[mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{m}{1-\summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}*t^{m-k}*1^k}-\bruch{n}{1-\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*t^{n-k}*1^k}
[/mm]
Dann argumentiere ich folgendermaßen: da t gegen Null geht, geht jedes einzelne Element der Summe gegen Null, außer das Element bei dem k=m wird. Bei diesem wird [mm] t^0 [/mm] zu eins, und ebenso der Binomialkoeffizient, wodurch ich rausbekommen würde:
[mm] \bruch{m}{1-t^0}-\bruch{n}{1-t^0}
[/mm]
Was mich leider auf den Widerspruch führt, dass ich durch Null teilen muss. Hat der Ausdruck somit überhaupt keinen Grenzwert bei x->1 ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie
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> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\left(\bruch{m}{1-x^m}-\bruch{n}{1-x^n}\right)[/mm]
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> für beliebige natürliche Zahlen m, n
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> [mm]\limes_{t\rightarrow0}\left(\bruch{m}{1-\summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}*t^{m-k}*1^k}-\bruch{n}{1-\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*t^{n-k}*1^k}\right)[/mm]
>
Es gibt einen Grenzwert. Schreibt man die ersten paar
Glieder der Summen aus, so hat man:
[mm] $\bruch{m}{-m*t-\bruch{m*(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t)}-\bruch{n}{-n*t-\bruch{n*(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t)}$
[/mm]
Dabei sind P und Q Polynome in t. Kürzen mit m bzw. n
ergibt:
[mm] $\bruch{1}{-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t)}-\bruch{1}{-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t)}$
[/mm]
Alles auf einen Bruchstrich gebracht:
[mm] $\bruch{(-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t))-(-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t))}{(-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t))*(-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t))}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t)+t+\bruch{(m-1)}{2}*t^2+t^3*P(t))}{(-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t))*(-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t))}$
[/mm]
[mm] $\bruch{t^2*(\bruch{(m-1)}{2}-\bruch{(n-1)}{2})+t^3*(P(t)-Q(t))}{t^2+t^3*R(t)}$
[/mm]
Nun noch mit [mm] t^2 [/mm] kürzen, dann ist der Grenzwert ersichtlich.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blueplanet |
Thx!
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