Grenzwert - unbest Ausdrücke < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:46 Di 09.01.2007 | | Autor: | Farouk |
Hallo,
bei berechnen von Grenzwerten kommen ja sehr oft unbestimmte ausdrücke raus. Einige Sachen decken die Regeln von L'hospital ab. Was ist aber mit folgenden Ausrücken. Darf man z.B. folgendes sagen und wenn ja warum? (bzw. warum darf man z.B. bei [mm] 1^\infty [/mm] nicht sagen dass es 1 ist denn schliesslich ist ja eins hoch egal was immer eins?)
[mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \infty [/mm] * - [mm] \infty [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
- [mm] \infty [/mm] * [mm] -\infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
0 *0 = 0
[mm] 0^\infty [/mm] = 0
0 / [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] (das steht in einer Lösung von mir. Warum eigentlich 0 durch irgendwas ist ja eigentlich 0??)
das würde ja dann bedeuten 0 / [mm] -\infty [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Vielen Dank schon im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 09.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Also Rechnungen mit Unendlich sollte man nach Möglichkeit vermeiden, oder man erhält mitunter recht seltsame Ergebnisse. So folgt z.B. aus Deiner ersten Gleichung
[mm] $\infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty \gdw \infty [/mm] = 1$
Ähnliches gilt für die nächsten zwei Fälle.
Schau doch mal hier: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeit
Da steht, welche Rechenoperation erlaubt sind und welche nicht definiert sind.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Farouk |
das hilft mir bei meiner Frage aber leider nicht weiter. Auf der angegebenen Internetseite steht nur das was ich ohnehin schon wusste (nämlich die Fälle von l'hospital und die Addition unbestimmter ausdrücke.
Was mache ich denn nun wenn einer meiner Fälle bei der Grenzwertberechnung rauskommt z.B. - [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] ? (das kann man ja nicht "vermeiden")
Ausserdem ist noch ein Problem hinzugekommen
habe ich lim [mm] n->-\infty n^3 [/mm] ist das dann - [mm] \infty [/mm] weil etwas negatives hoch drei negativ ist?
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Hi, Farouk,
> das hilft mir bei meiner Frage aber leider nicht weiter.
> Auf der angegebenen Internetseite steht nur das was ich
> ohnehin schon wusste (nämlich die Fälle von l'hospital und
> die Addition unbestimmter ausdrücke.
Genau! Alle Ausdrücke, die Du in Deiner obigen Frage erwähnst, sind ja nicht wirklich mathematische Rechenausdrücke, sondern "Ergebnisse" von Grenzwertrechnungen.
Und solange da nicht die Regeln von de L'Hospital im Spiel sind, kann man als Faustregel schon mal schreiben:
[mm] -\infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty.
[/mm]
Aber wie Nansen Dir richtig erklärt hat, ist das eben KEINE Gleichung im mathematischen Sinn, sodass Du z.B. durch [mm] \infty [/mm] dividieren könntest.
Es sind halt "Faustregeln", die auf Grenzwertregeln beruhen!
> Was mache ich denn nun wenn einer meiner Fälle bei der
> Grenzwertberechnung rauskommt z.B. - [mm]\infty[/mm] * [mm]\infty[/mm] ? (das
> kann man ja nicht "vermeiden")
Dann ist das Ergebnis der "gesamten" Grenzwertrechnung natürlich der uneigentliche Grenzwert [mm] -\infty.
[/mm]
> Ausserdem ist noch ein Problem hinzugekommen
> habe ich lim [mm]n->-\infty n^3[/mm] ist das dann - [mm]\infty[/mm] weil
> etwas negatives hoch drei negativ ist?
So könnte man's ausdrücken. Du kannst aber auch "in Gedanken" z=-n setzten. Dann erhältst Du
[mm] \limes_{n\rightarrow -\infty} n^{3}
[/mm]
= [mm] -\limes_{z\rightarrow +\infty} z^{3} \to [/mm] - [mm] \infty.
[/mm]
Aber bei Deinen obigen "Regeln" ist mir noch zweierlei aufgefallen:
(1) [mm] 0^{\infty} [/mm] : Hier gibt es keine "Faustregel"! Dies ist "ein Fall für L'Hospital"!
(Du musst immer bedenken: Es ist nicht nur wichtig, ob etwas gegen 0 oder 1 oder auch [mm] \infty [/mm] geht, sondern sozusagen auch "wie schnell" es das tut! Und das lässt sich mit Faustregeln der obigen Art nicht in den Griff kriegen!)
(2) [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist mit 100%iger Sicherheit falsch!
Dieser Grenzwert ist IMMER gleich 0.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Farouk |
Also kann man vereinfacht sagen: wenn unbestimmte Ausdrücke bei der Grenzwertberechnung rauskommen, die nicht Fall von L`hospital sind kann man die Rechenregeln anwenden. Also - unendlich mal + unendlich ist - unendlich?
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Hi, Farouk,
> Also kann man vereinfacht sagen: wenn unbestimmte Ausdrücke
> bei der Grenzwertberechnung rauskommen, die nicht Fall von
> L'hospital sind kann man die Rechenregeln anwenden. Also -
> unendlich mal + unendlich ist - unendlich?
Naja, eigentlich eher umgekehrt:
Wenn man einen Grenzwert (auch uneigentlichen Gw) bestimmen soll, der sich nicht durch logische Überlegung oder die üblichen Regeln lösen lässt, die Voraussetzungen der L'Hospitalschen Regeln aber erfüllt sind, dann nimmt man diese her. (Aber auch hier ist Vorsicht geboten, denn oft stellt sich erst am Ende heraus, dass sie doch nicht zum Ziel führen!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 09.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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