Grenzwert 0/0 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 18.12.2004 | | Autor: | SBDevil |
Hallo!
Ich hab noch eine Frage!
Undzwar bei:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 1-\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}}
[/mm]
Das läuft dann ja für große N nach [mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] ... Muss ich dann, weil 0/0, die Ableitung bilden und davon dann den Grenzwert ausrechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo SBDevil,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 1-\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}}[/mm]
>
> Das läuft dann ja für große N nach [mm]\bruch{1-1}{1-1}[/mm] ...
> Muss ich dann, weil 0/0, die Ableitung bilden und davon
> dann den Grenzwert ausrechnen?
Genau richtig: Du "darfst" hier die Regel nach de l'Hospital anwenden, da ja der Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] entsteht.
[mm] $\limes_{n\rightarrow n_0} \bruch{f(n)}{g(n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow n_0} \bruch{f'(n)}{g'(n)}$
[/mm]
Vorher würde ich allerdings zumindest den Nenner noch zusammenfassen / vereinfachen.
Grüße Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo SBdevil!
Einfacher ist es allerdings im Nenner die dritte Binomische Formel anzuwenden und dann zu kürzen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 1-\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}}
= \limes_{n \to \infty} \bruch{ 1-\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}}{\left( 1-\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}\right) \cdot \left( 1+\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}\right) } = \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{1+\wurzel{ \bruch{n-1}{n}}} = \frac{1}{2}[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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