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Zeigen Sie, dass der Grenzwert von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!}=\bruch{1}{e} [/mm] ist , mit der Stirling-Formel.
Hallo,
ich lass mal den ln auf die S.F. los :
=> [mm] ln(\bruch{n}{e})^{n}* \wurzel(2*\pi*n)
[/mm]
=> [mm] n*ln(n)-n*ln(e)+ln(\wurzel(2*\pi*n) [/mm] , wie geht's weiter ?(falls es bis hier hin stimmt ?)
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Hallo Mac,
> Zeigen Sie, dass der Grenzwert von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!}=\bruch{1}{e}[/mm]
> ist , mit der Stirling-Formel.
>
> Hallo,
>
> ich lass mal den ln auf die S.F. los : ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
wieso machst du das?
>
> => [mm]ln(\bruch{n}{e})^{n}* \wurzel(2*\pi*n)[/mm]
> =>
> [mm]n*ln(n)-n*ln(e)+ln(\wurzel(2*\pi*n)[/mm] , wie geht's weiter
> ?(falls es bis hier hin stimmt ?)
Die Sterlingformel sagt doch, dass [mm] $n!\approx\sqrt{2\cdot{}\pi\cdot{}n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ [/mm] ist für große n (die wir ja hier letzlich wegen [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}$ [/mm] betrachten)
Das setze einfach ein:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cdot{}\sqrt[n]{n!}\approx\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cdot{}\sqrt[n]{\sqrt{2\cdot{}\pi\cdot{}n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=...$
[/mm]
Bissl umformen mit Wurzel-/Potenzgesetzen, dann steht's auch schon da...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Mi 19.12.2007 | | Autor: | MacChevap |
so schön so einfach.... danke Schachuzipus 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur der Form halber:
Mit einer Abschätzung, die man z.B. Wiki unter dem Stichwort Stirling-Formel entnimmt:
1 [mm] \le \frac{n!}{\wurzel{2*\pi*n}*(\frac{n}{e})^n} \le e^\frac{1}{12n}
[/mm]
erkennt man, wenn man die n-te Wurzel zieht:
[mm] $lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{n!}{\wurzel{2\cdot{}\pi\cdot{}n}\cdot{}(\frac{n}{e})^n}}=lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{n!}{n^n}} *\frac{e}{\wurzel[n]{\wurzel{2*\pi*n}}}=1$, [/mm]
Nun sollte man begründen:
[mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}} \to [/mm] 1, [mm] \wurzel[n]{\wurzel{2*\pi}} \to [/mm] 1 bei n [mm] \to \infty.
[/mm]
Für letzteres hattet ihr sicherlich schonmal gezeigt, dass für jede Konstante k > 0 gilt:
[mm] \wurzel[n]{k} \to [/mm] 1 bei n [mm] \to \infty
[/mm]
Für das vorhergehende:
Bekannt sein sollte [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1, und damit kann man wegen
[mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}}=\wurzel{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
dann die Stetigkeit der Funktion x [mm] \mapsto \wurzel{x} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0 ausnutzen.
Gruß,
Marcel
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