Grenzwert, Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige: für q >1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n/(q^{n})=0 [/mm] |
Benötige Lösungsansatz.
Schonmal Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
verwende dazu die Regeln von de l'Hospital. Es liegt ein Ausdruck der Form [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] vor, da q>1. Es folgt also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{q^{n}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{ln(n)*q^{n}}
[/mm]
=0
für alle q>1. Man brauch sich auch keine Sorgen machen, wenn das n vielleicht kleiner 1 ist. Auch in diesem Fall ist der Grenzwert 0. Beachte die Monotonie des ln!
Viele Grüße
Daniel
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Danke für die schnelle antwort, bin mir nur nicht sicher, ob ich die genannte Regel einfach anwenden darf, da wir sie eigentlich noch nicht hatten.
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Hallo mathe_freak,
Dann mußt Du eben zurück zur Grenzwertdefinition. [mm] (\forall \varepsilon \exists n_0 [/mm] ...)
Hast Du schonmal versucht ausgehend von [mm] \varepsilon [/mm] das [mm] n_0 [/mm] zu bestimmen?
viele Grüße
mathemaduenn
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Ich denke, dass das eine Möglichkeit ist, weiss trotzdem immer noch nicht, wie ich da anfangen soll. Könntest mir vll. den ersten Schritt zeigen?
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Hallo mathe_freak,
Der erste Schritt wäre sicher die Definition hinschreiben und alles einsetzen was man so hat. (die Folge den Grenzwert) und sich dann überlegen was man zeigen muß.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 25.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Im Nenner des Bruches hast Du aber die Ableitung nicht richtig gebildet.
Dort muss stehen: [mm] $\ln(q)*q^n$ [/mm] (in Anlehnung an die Ableitung zu [mm] $a^x$ [/mm] ).
Gruß
Loddar
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Hey Loddar,
ja klar. Ist ja exponentiell. Da war ich wieder mal zu schnell. Aber am Grenzwert ändert das ja nix. 
Ich änder das gleich.
Viele Grüße
Daniel
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Mit der Regel von l'Hospital lernt man nicht gerade Analysis, würde sie höchstens bei Prüfungen verwenden, wenn man nicht weiter weiß.
In diesem Fall kann man sogar mehr zeigen: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{k}}{q^{n}} [/mm] = 0$ für beliebiges [mm] $k\in\IN$ [/mm] . Wir sehen uns einmal den Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder an: $ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})^k}{q} [/mm] $. Sei $b := q-1$, also $b > 0$. Wegen $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^k [/mm] = 1$ gibt es ein [mm] $N_{0}$ [/mm] so dass gilt: [mm] $(1+\bruch{1}{n})^k [/mm] < [mm] 1+\bruch{b}{2}$ [/mm] für $n [mm] \ge N_{0}$. [/mm] Damit ist aber [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1+\bruch{b}{2}}{1+b} [/mm] < 1$ für $n [mm] \ge N_{0}$ [/mm] Sei $M := [mm] \bruch{1+\bruch{b}{2}}{1+b}$, [/mm] also $M < 1$, dann ist für $n [mm] \ge N_{0}$ $a_{n} \le a_{N_{0}}*M^{n-N_{0}}$, [/mm] und wegen [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_{N_{0}}*M^{n-N_{0}} [/mm] = 0$ folgt die Behauptung.
Für k = 1 geht's auch anders, indem man sich von [mm] $(1+b)^{n}$ [/mm] den Binomischen Lehrsatz ansieht und es mit [mm] $\vektor{n \\ 2}*b^{2}$ [/mm] nach unten abschätzt. Ist vielleicht ganz nett, aber gleich den allgemeinen Fall beweisen ist besser.
Liebe Grüße
GA
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