Grenzwert & Epsilon-Umgebung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mo 24.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert $\ a $ (falls er existiert) der angegebenen Zahlenfolge $\ [mm] \{a_n\} [/mm] $.
Bestimmen Sie $\ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ derart, dass für alle $\ n > \ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ 18.6 gilt!
18.6 $\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] $
$\ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $ |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten, beim Bestimmen des Grenzwertes.
Mein Ansatz:
$\ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $
$ = [mm] \frac{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n)(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)}{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)} [/mm] $ Umformung mittels 3. bin. Formel um einen unbestimmten Ausdruck wie $\ [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] $ zu meiden.
$ = [mm] \frac{n^2(1+\frac{1}{n})-n^2}{n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n} [/mm] $
nach diesem Schritt kürzte ich Zähler und Nenner mit der im Nenner am größten auftretenden Potenz von [mm] $\n [/mm] $, also jeweils $\ n $ ausgeklammert und weggekürzt:
$ = [mm] \frac{n(1+\frac{1}{n})-n}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1} [/mm] $
nun im Zähler erneut n ausgeklammert...
$ = [mm] \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1} [/mm] $
wenn ich nun den Grenzwert $\ n [mm] \to \infty [/mm] $ betrachte
$\ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1} [/mm] $
konvergiert $\ n $ im Zähler gegen $\ [mm] \infty [/mm] $, die Klammer im Zähler gegen $\ 0$ und der Nenner konvergiert gegen $\ 2 $.
$\ [mm] \frac{\infty*0}{2} [/mm] $
hier steh ich nun also.
Die Lösung stimmt nur leider nicht. Der Grenzwert müsste $\ [mm] \frac{1}{2} [/mm] $ lauten.
Würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen könnte.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 24.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Grenzwert [mm]\ a[/mm] (falls er existiert) der
> angegebenen Zahlenfolge [mm]\ \{a_n\} [/mm].
>
> Bestimmen Sie [mm]\ n_0(\epsilon)[/mm] derart, dass für alle [mm]\ n > \ n_0(\epsilon)[/mm]
> 18.6 gilt!
>
> 18.6 [mm]\ | a_n - a | < \epsilon[/mm]
>
>
> [mm]\ \{a_n\} = n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe Schwierigkeiten, beim Bestimmen des Grenzwertes.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\ \{a_n\} = n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n[/mm]
>
> [mm]= \frac{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n)(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)}{(n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n)}[/mm]
> Umformung mittels 3. bin. Formel um einen unbestimmten
> Ausdruck wie [mm]\ \frac{\infty}{\infty}[/mm] zu meiden.
>
> [mm]= \frac{n^2(1+\frac{1}{n})-n^2}{n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}+n}[/mm]
>
> nach diesem Schritt kürzte ich Zähler und Nenner mit der
> im Nenner am größten auftretenden Potenz von [mm]\n [/mm], also
> jeweils [mm]\ n[/mm] ausgeklammert und weggekürzt:
>
> [mm]= \frac{n(1+\frac{1}{n})-n}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
>
> nun im Zähler erneut n ausgeklammert...
>
> [mm]= \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
Hallo,
es gilt 1-1=0, deshalb ist [mm] n[(1+\frac{1}{n})-1]=n*\frac{1}{n}=1
[/mm]
Gruß Abakus
>
> wenn ich nun den Grenzwert [mm]\ n \to \infty[/mm] betrachte
>
> [mm]\ \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n[(1+\frac{1}{n})-1]}{\wurzel{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
>
> konvergiert [mm]\ n[/mm] im Zähler gegen [mm]\ \infty [/mm], die Klammer im
> Zähler gegen [mm]\ 0[/mm] und der Nenner konvergiert gegen [mm]\ 2 [/mm].
>
> [mm]\ \frac{\infty*0}{2}[/mm]
>
> hier steh ich nun also.
>
> Die Lösung stimmt nur leider nicht. Der Grenzwert müsste
> [mm]\ \frac{1}{2}[/mm] lauten.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen
> könnte.
>
> Grüße
> ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Mo 24.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Das hab ich doch Glatt übersehen 
Danke!
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mo 24.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Bestimmen Sie $ \ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ derart, dass für alle $ \ n > \ [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ 18.6 gilt!
18.6 $ \ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] $
$ \ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $ |
Hallo erneut,
hier habe ich ebenfalls Schwierigkeiten.
Mein Ansatz:
$\ [mm] \{a_n\} [/mm] < [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$\ [mm] n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] < [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$\ | [mm] n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] | = [mm] \frac{1}{2} -n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] $
Hier steck ich eigentlich schon fest. Hab jede Umformung, die mir in den Sinn kam ausprobiert, doch es wurde immer nur komplizierter.
Was muss ich denn tun?
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
> [mm]\ | n\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n - \frac{1}{2} | [/mm]
Wende dieselbe Erweiterung zur 3. binomischen Formel an wie oben und bringe anschließend auf einen Bruchstrich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 24.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
danke für die schnelle Antwort.
Ich hab das mal folgendermaßen versucht:
$\ [mm] \frac{1}{2} -n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1) [/mm] * [mm] \frac{\frac{1}{2} +n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{2} +n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)}$
[/mm]
$\ [mm] \frac{\frac{1}{4} -n^2(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)^2} {\frac{1}{2} +n(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1)}$
[/mm]
Ich seh nur leider noch nicht, wo mich das hinführt.
Das Ergebnis soll $\ n > [mm] n_0(\epsilon) [/mm] $ sein, oder?
So, dass ich ein $\ [mm] n_0 [/mm] $ bestimme, von dem ab jedes $\ n > [mm] n_0$ [/mm] in der $\ [mm] \epsilon [/mm] - $Umgebung liegt, seh ich das richtig?
Würde mich über weitere Tips freuen,
grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Hm, ein Missverständnis: erweitere nur den Ausdruck [mm] $n*\left(\wurzel{1+\frac{1}{n}}-1\right)$ [/mm] innerhalb den Betragsstrichen.
Gruß
oddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 24.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
hab's eben probiert und bin dem Ergebnis schon wesentlich näher gekommen, danke.
Ich hätte allerdings nicht ahnen können, dass ich mittels Umformung so viel weiter komme. Bei der Grenzwertberechnung mach ich das eben aus Erfahrung so.
Aber beim ermitteln von Werten in der Form $\ n > [mm] n_0(\epsilon)$ [/mm] tu ich mir noch ziemlich schwer.
Gibt es hierfür allgemeine Tips & Regeln oder gewisse Umformungen, die es immer zu berücksichtigen gilt?
Falls jemand Links oder allg. Hinweise dazu hat, würde ich mich sehr freuen.
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Oft helfen genau dieselben Umformungen weiter wie bei der ursprünglichen Grenzwertermittlung.
Zudem muss man auch öfters abschätzen, d.h. man vergleicht mit einem größeren aber einfacheren Term.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 24.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
vielen Dank für Deine Hilfe!
Grüße
ChopSuey
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