Grenzwert Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:26 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Brechnen sie folgenden Grenzwerte
1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})), [/mm] (f stetig)
2)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+....+\bruch{1}{2n})
[/mm]
3)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}) [/mm] ( [mm] k\in \IN [/mm] ) |
ich würde bei allen sagen der Grenzwert ist =0
Bei 1) wegen 1/n
Bei 2) weil jeder bruch gegen Null kostet
Bei 3) [mm] n^{k+1}>> n^{k}
[/mm]
Aber sonst hab ich keine Ahnung. Würde mich über tipps freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Brechnen sie folgenden Grenzwerte
> 1)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})),[/mm]
> (f stetig)
>
> 2)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+....+\bruch{1}{2n})[/mm]
>
> 3)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}})[/mm]
> ( [mm]k\in \IN[/mm] )
> ich würde bei allen sagen der Grenzwert ist =0
Nein. Das stimmt nicht.
>
> Bei 1) wegen 1/n
> Bei 2) weil jeder bruch gegen Null kostet
> Bei 3) [mm]n^{k+1}>> n^{k}[/mm]
>
> Aber sonst hab ich keine Ahnung. Würde mich über tipps
> freuen.
Zu 1): [mm] \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})) [/mm] ist eine Riemannsche Zwischensumme für das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}.
[/mm]
Als stetige Funktion ist f integrierbar über [0,1]. Somit haben wir
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n}))=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}$.
[/mm]
Zu 2): Setze [mm] f(x):=\bruch{1}{1+x} [/mm] und zeige:
[mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+....+\bruch{1}{2n}= \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})).
[/mm]
Wende 1) an.
Zu 3): Setze [mm] f(x):=x^k [/mm] und zeige:
[mm] \bruch{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}= \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})).
[/mm]
Wende 1) an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
Ich verstehe was du mir sagen möchtes. Zu2)und 3) versteh ich wie ich das zeigen muss und den Grenzwert berechne ich ja über das Integral dann.
Bei 1) habe ich ja kein f(x)= irgendwas also wäre die Lösung nur allgemein und nur das [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe was du mir sagen möchtes. Zu2)und 3) versteh
> ich wie ich das zeigen muss
Hast Du es gemacht ?
> und den Grenzwert berechne ich
> ja über das Integral dann.
Ja
> Bei 1) habe ich ja kein f(x)= irgendwas also wäre die
> Lösung nur allgemein und nur das [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
Ja
FRED
> oder irre ich mich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
Bei 3)
Bruch auseinander ziehen zu [mm] \bruch{1^{k}}{n^{k}*n}+.... [/mm] dann [mm] n^{1} [/mm] aus den bruch ziehen und f(x) einsetzten
2)bei zwei bekomme ich auch alle hin bis auf das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] den rest bekomme ich dahin geführt aber 1/n irgendwieverschwindet es
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bei 3)
> Bruch auseinander ziehen zu [mm]\bruch{1^{k}}{n^{k}*n}+....[/mm]
> dann [mm]n^{1}[/mm] aus den bruch ziehen und f(x) einsetzten
Ja
>
> 2)bei zwei bekomme ich auch alle hin bis auf das
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] den rest bekomme ich dahin geführt aber 1/n
> irgendwieverschwindet es
Zeig Deine Rechnungen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
2) komme auf die form [mm] \bruch{1}{n}( f(\bruch{1}{n})+......)mit f(x)=\bruch{1}{1+x}
[/mm]
Erster schritt wär [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ausklammern
[mm] \bruch{1}{n}( 1+\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1} [/mm] +....+ [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] bei allen zahlen bis auf erste und letzte könnte man jetzt sagen [mm] f(\bruch{1}{n}) =\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] beim letzten könnte man sagen [mm] f(\bruch{n}{n}=f(1)=\bruch{1}{2} [/mm]
Jedoch die 1 in der klammer also [mm] \bruch{1}{n} [/mm] finde ich nichts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{1}{n}( 1+\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1} [/mm] +....+ [mm] \bruch{1}{2})=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}( 1+\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1} [/mm] +....+ [mm] \bruch{1}{1+\bruch{n}{n}}) [/mm] =
[mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}(f(1/n)+f(2/n)+....+f(n/n))
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
Das heißt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] vondem mist wären= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] + Integral oder ? Aber da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 läuft vernachlässigen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] vondem mist
mist ? O yeah ist das cool ...
> wären=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm] + Integral oder ?
> Aber da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0 läuft vernachlässigen
Ja.
FRED
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