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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{ln(1+2x) - 2xe^{-x}}{x^3} [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bei der Berechnung dieses Grenzwertes helfen??
Komme mit dem Logarithmus und der Exponentialfunktion irgendwie nicht so ganz klar...
'Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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> Berechnen Sie:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{ln(1+2x) - 2xe^{-x}}{x^3}[/mm]
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Hallo,
falls Ihr das dürft: dreimal die Regel von l'Hospital.
Gruß v. Angela
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Hi Angela
Dürfen wir leider nicht....gehts auch anders???
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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Es geht zum Beispiel auch über Potenzreihen.
[mm]\ln{(1+x)} = \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k-1}}{k} \, x^k[/mm]
[mm]x[/mm] durch [mm]2x[/mm] substituieren:
[mm]\ln{(1+2x)} = \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k-1} 2^k}{k} \, x^k[/mm]
[mm]\operatorname{e}^x = \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k!} \, x^k[/mm]
[mm]x[/mm] durch [mm]-x[/mm] substituieren und mit [mm]2x[/mm] multiplizieren:
[mm]2x \operatorname{e}^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{2 \cdot (-1)^k}{k!} \, x^{k+1}[/mm]
Subtrahieren und durch [mm]x^3[/mm] dividieren:
[mm]\frac{1}{x^3} \left( \left( 2x - 2x^2 + \frac{8}{3} \, x^3 + O(x^4) \right) - \left( 2x - 2x^2 + x^3 + O(x^4) \right) \right)[/mm]
Vereinfachen und Grenzübergang [mm]x \to 0[/mm] durchführen.
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