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| Aufgabe | lim [mm] \bruch{x+1}{x^3+7x^2-2} [/mm]
x gegen -4 |
Hallo!
Könnte mir bitte jemand über die Grenzwertberechnung bei Funktionen Auskunft geben?
Mich irritiert der Limes für x gegen -4, habe bis jetzt nur Limes für Folgen berechnet!
Nach diesen Schema:(sicher falsch)
lim [mm] \bruch{x^3(\bruch{1}{x^2} \bruch{1}{x^3}) }{x^3(1\bruch{7}{x} \bruch{2}{x^3} )} [/mm]
x gegen -4
Also durch höchste Nennerpotenz dividieren! Dabei kommt aber 0 heraus was nicht stimmt!
Wie geht das bei Funktionen?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
das kannst du doch direkt einsetzen, für x=-4 hast du doch weder im Zähler noch im Nenner ein Problem mit ner 0:
[mm] $\lim\limits_{x\to -4}\frac{x+1}{x^3+7x^2-2}=\frac{\blue{-4}+1}{\blue{(-4)}^3+7\blue{(-4)}^2-2}=\frac{-3}{-64+112-2}=-\frac{3}{46}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | Kann ich also bei Limes x gegen z.B 2;7;-8;-21 immer diese Zahlen statt x einsetzen? Ist die Division durch die höchste Nennerpotenz nur nötig wenn x gegen unendlich?(Habe davor die - und + Zeichen zwischen den Ausdrücken in den Klammern vergessen) |
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für deine Antwort!
Könntest du mir vielleicht noch einige Hintergrundinformationen zur Grenzwertbestimmung geben?
Vielen Dank
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:22 Do 10.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Ja da hast du recht. Daran habe ich nicht gedacht. Bei deinem Bsp musste man die 3 binomische Formel anwenden und dann als Grenzwert 2 erhalten.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo nochmal,
das mit dem Einsetzen ist so eine Sache.
Das darfst du nur machen, wenn die Funktion dort auch definiert ist.
In deiner obigen Aufgabe waren Zähler und Nenner von f(x) für x=-4 definiert, da konntest du schön direkt einsetzen.
Wenn die Funktion aber an der Stelle, an der du den GW berechnen möchstest, eine Definitionslücke hat, musst du etwas anders vorgehen.
zB. [mm] $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ [/mm] und die Stelle sei mal $x=1$
Wenn du da direkt x=1 einsetzt, steht da [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Ohoh, was soll das sein?
Hier musst du schauen, ob du den Funktionsterm irgendwie umformen oder erweitern kannst...
Hier geht das gut:
[mm] $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$
[/mm]
Also ist [mm] $\lim\limits_{x\to \blue{1}}g(x)=\blue{1}+1=2$
[/mm]
Für die Fälle, in denen du für [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] (bei direktem Einsetzen) unbestimmte Ausdrücke der Art [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ [/mm] erhältst, gibt es außerdem noch die sog. Regel von "de l'Hôpital"
Da leitest du dann Zähler und Nenner getrennt ab und schaust die dann den [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] an.
Aber das kommt wohl erst später dran 
LG
schachuzipus
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