Grenzwert Geom. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Di 26.02.2013 | | Autor: | Dajohre |
| Aufgabe 1 | | [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} [/mm] (- [mm] \bruch{2+a}{a^{2}-4})^{n} [/mm] , a [mm] \subset [\bruch{3}{4},1[ [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} 2^{n}* [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n})^{n^{2}} [/mm] |
Aufgabe 1:
Die Reihe konvergiert, laut Wurzelkriterium.
Allerdings weiß ich nicht wie/ob ich damit einen GW berechnen kann.
Die Reihe ist eine geometrische Reihe, also kann man den GW mit [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] bestimmen.
Folglich:
[mm] \bruch{1-(- \bruch{2+a}{a^{2}-4})^{n+1}}{1-(- \bruch{2+a}{a^{2}-4})}
[/mm]
Laut Lösung soll der GW [mm] \bruch{2-a}{1-a} [/mm] sein.
Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich obige Gleichung Richtig umformen kann.
Meine Fragen zu dieser Aufgabe wären also:
Kann man einen GW mit Wurzelkriterium berechnen?
Wie kann man die Gleichung der Geometrischen Reihe umformen/"lösen"?
Aufgabe 2:
Laut Wurzelkriterium folgt:
[mm] 2*(1-\bruch{1}{n})^{n}, [/mm] n [mm] \to \infty [/mm] = [mm] 2*e^{-1}
[/mm]
Warum ist das so? Laut meinem Verständnis müsste [mm] (1-\bruch{1}{n})^{n} [/mm] nach 1 gehen [mm] ((1-0)^{n}).
[/mm]
Kann mir bitte jemand meinen Denkfehler erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Am liebsten wäre mir eine DAU Erklärung, Mathe ist leider nicht gerade meine Stärke.
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Hallo,
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty}[/mm] (- [mm]\bruch{2+a}{a^{2}-4})^{n}[/mm] , a
> [mm]\subset [\bruch{3}{4},1[[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} 2^{n}*[/mm] (1-
> [mm]\bruch{1}{n})^{n^{2}}[/mm]
> Aufgabe 1:
>
> Die Reihe konvergiert, laut Wurzelkriterium.
Genau. Dafür ist aber noch zu prüfen, ob wirklich
[mm] $\left| \frac{2+a}{a^2-4}\right| [/mm] < 1$
gilt (das gilt aufgrund der Einschränkung $a [mm] \in [/mm] [3/4, 1[$).
> Allerdings weiß ich nicht wie/ob ich damit einen GW
> berechnen kann.
Nein, das ist nicht möglich. Du kannst den Grenzwert hier nur mit Hilfe der geometrischen Reihe berechnen.
> Die Reihe ist eine geometrische Reihe, also kann man den GW
> mit [mm]\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm] bestimmen.
Richtig, es handelt sich um eine geometrische Reihe.
Allerdings verwendest du die geometrische Summenformel. Es ist wichtig zu unterscheiden:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}q^k [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
und für $n [mm] \to \infty$ [/mm] kommt dann raus (wenn $|q| < 1$):
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$.
[/mm]
Weil bei dir die Reihe bis unendlich geht, musst du also die untere Formel ohne n benutzen!
> Folglich:
>
> [mm]\bruch{1-(- \bruch{2+a}{a^{2}-4})^{n+1}}{1-(- \bruch{2+a}{a^{2}-4})}[/mm]
>
> Laut Lösung soll der GW [mm]\bruch{2-a}{1-a}[/mm] sein.
Bei deiner Lösung muss also der Subtrahend im Zähler weg:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2+a}{a^2-4}\right)^{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\left(-\frac{2+a}{a^2-4}\right)}$.
[/mm]
Nun weiter vereinfachen!
> Aufgabe 2:
>
> Laut Wurzelkriterium folgt:
>
> [mm]2*(1-\bruch{1}{n})^{n},[/mm] n [mm]\to \infty[/mm] = [mm]2*e^{-1}[/mm]
Benutze den Formeleditor! Ich gehe außerdem davon aus, dass die Reihe bei $n=1$ beginnt, weil das Reihenglied für $n = 0$ nicht definiert ist.
Du hast also [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] 2^{n}\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ [/mm] und nutzt nun das Wurzelkriterium:
[mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \limsup_{n\to\infty}\left[2\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right] [/mm] = [mm] \frac{2}{e}$.
[/mm]
Bis hierhin hast du also alles richtig gemacht.
> Warum ist das so? Laut meinem Verständnis müsste
> [mm](1-\bruch{1}{n})^{n}[/mm] nach 1 gehen [mm]((1-0)^{n}).[/mm]
> Kann mir bitte jemand meinen Denkfehler erklären?
Ja, das ist ein bisschen sonderbar.
Es hängt daran, dass du die Grenzwertsätze benutzen möchtest (Produkt: n-mal
[mm] $(1-\frac{1}{n)}*...*(1-\frac{1}{n})$
[/mm]
) Das ist aber nicht erlaubt, weil die Grenzwertsätze nur für endliche Produkte / Summen etc. verwendet werden dürfen. Die Anzahl deiner Faktoren steigt aber mit $n$. Daher betrügt dich hier dein Verständnis.
Du musst dir diese Formel einfach merken UND wissen, dass die Grenzwertsätze hier nicht anwendbar sind.
Viele Grüße,
Stefan
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