Grenzwert, Komplexität < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Schmidtl |
| Aufgabe | Berechnen der Grenzwerte der Quotienten:
c'(n) = [mm] e^{n}
[/mm]
c(n) = n!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] c'(n)/c(n) |
Hi,
im Bereich Komplexität soll ich zeigen, wie es bei der obigen Aufgabe mit dem lim ausschaut. Geht um Abschätzung der Algorithmen usw. Nun habe ich erstmal n! mit der Stirling-Formel angegeben:
[mm] n!=\wurzel{2\pi n} (n/e)^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] e^{n} [/mm] / [mm] \wurzel{2\pi n} (n/e)^{n}
[/mm]
Da bei der Komplexität in diesem Beispiel nur die höchste Potenz wirklich zählt und konstante Faktoren eh rausfliegen sollen, werfe ich [mm] \wurzel{2\pi n} [/mm] raus. Nun habe ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((e/(e/n))^{n} [/mm] . Dann nochmals etwas umgestellt und ich komme zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (e^{2}/n))^{n} [/mm] . Der Klammerausdruck wird kleiner als 1 (geht gen 0?) und damit kann ich es für große n beliebig multiplizieren und dann habe ich ja einen Grenzwert von 0, oder? kann man es so machen, wie ich es löse? Habe ich irgendwo Denk-/Rechenfehler?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Disap |
> Berechnen der Grenzwerte der Quotienten:
> c'(n) = [mm]e^{n}[/mm]
> c(n) = n!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] c'(n)/c(n)
> Hi,
Moin.
>
> im Bereich Komplexität soll ich zeigen, wie es bei der
> obigen Aufgabe mit dem lim ausschaut. Geht um Abschätzung
> der Algorithmen usw. Nun habe ich erstmal n! mit der
> Stirling-Formel angegeben:
>
> [mm]n!=\wurzel{2\pi n} (n/e)^{n}[/mm]
Nicht ganz richtig. Das ist nicht " = ", sondern " [mm] \approx [/mm] ". Die Stirlingformel ist nur eine Näherungsformel...
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]e^{n}[/mm] / [mm]\wurzel{2\pi n} (n/e)^{n}[/mm]
>
> Da bei der Komplexität in diesem Beispiel nur die höchste
> Potenz wirklich zählt und konstante Faktoren eh rausfliegen
> sollen, werfe ich [mm]\wurzel{2\pi n}[/mm] raus. Nun habe ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((e/(e/n))^{n}[/mm] . Dann nochmals
> etwas umgestellt und ich komme zu
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (e^{2}/n))^{n}[/mm] . Der
> Klammerausdruck wird kleiner als 1 (geht gen 0?) und damit
> kann ich es für große n beliebig multiplizieren und dann
> habe ich ja einen Grenzwert von 0, oder? kann man es so
> machen, wie ich es löse? Habe ich irgendwo
> Denk-/Rechenfehler?
Das kann man so machen. In dem Fall reicht die logische Überlegung.
MfG!
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Di 09.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auch ich find alles richtig, würd allerdings
[mm]n! \ge \wurzel{2\pi n} (n/e)^{n}[/mm]
schreiben, damit vergrößerst du den Bruch also konvergiert der ursprüngliche erst recht gegen0.
[mm] e^2/n [/mm] würd ich für z.Bsp [mm] n\ge [/mm] 100 abschätzen mit [mm] e^2/n<9/100<0,1
[/mm]
und dann [mm] (0,1)^n [/mm] ist nullfolge
Gruss leduart
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