Grenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 29.03.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei x eine Lösung von x'=f(x), [mm] x(0)=x_0 [/mm] mit f [mm] \in C(\mathbb{R}) [/mm] welche die Bedingung [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] erfüllt.
Zeige, dass [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)=0 und [mm] f(x_1)=0
[/mm]
Hinweis: Wenn du [mm] lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x(t)=0 ohne die Dgl löst ist der Beweis falsch. Kannst du ein Gegenbeispiel geben?) |
Hallo
x [mm] \in C^1, [/mm] demnach kann ich den mittelwertsatz anwenden:
[mm] \exists \psi \in [/mm] [t, t+1]: x(t+1)-x(t) = [mm] x'(\psi)
[/mm]
Bilde ich den Grenzwert erhalte ich [mm] lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x(t+1)-x(t)= [mm] \lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi) [/mm] da wenn t gegen unendlich geht auch die Zwischenstelle [mm] \psi [/mm] gegen unendlich geht.
Da [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] ergibt sich [mm] 0=lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi)
[/mm]
Aus der Stetigkeit von f folt: [mm] f(x_1)= f(\lim_{t\rightarrow \infty} x(t))=lim_{t\rightarrow \infty} f(x(t))=\lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)=0
Ich habe nicht benutzt [mm] x(0)=x_0, [/mm] was mich verunsichert. Hätte ich das wo einbauen müssen?
Nun zum Hinweis: Ich soll ein Bsp finden, wo [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] aber [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t) [mm] \not=0. [/mm] Also der Limes und die Ableitung nicht vertauscht werden darf.
Ich war noch nie gut darin ein bsp für einen Fall zu kontsruieren, habt ihr da einen Vorschlag wie ich mir das am besten überlegen kann?
lg sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Do 31.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei x eine Lösung von x'=f(x), [mm]x(0)=x_0[/mm] mit f [mm]\in C(\mathbb{R})[/mm]
> welche die Bedingung [mm]\lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1[/mm]
> erfüllt.
> Zeige, dass [mm]\lim_{t\rightarrow \infty}[/mm] x'(t)=0 und
> [mm]f(x_1)=0[/mm]
>
Hallo Sissi,
> Hinweis: Wenn du [mm]lim_{t\rightarrow \infty}[/mm] x(t)=0
Hier soll es wohl lauten
[mm]lim_{t\rightarrow \infty}x'(t)=0 [/mm]
> ohne die
> Dgl löst ist der Beweis falsch. Kannst du ein
> Gegenbeispiel geben?)
> Hallo
> x [mm]\in C^1,[/mm] demnach kann ich den mittelwertsatz anwenden:
> [mm]\exists \psi \in[/mm] [t, t+1]: x(t+1)-x(t) = [mm]x'(\psi)[/mm]
> Bilde ich den Grenzwert erhalte ich [mm]lim_{t\rightarrow \infty}[/mm]
> x(t+1)-x(t)= [mm]\lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi)[/mm] da
> wenn t gegen unendlich geht auch die Zwischenstelle [mm]\psi[/mm]
> gegen unendlich geht.
> Da [mm]\lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1[/mm] ergibt sich
> [mm]0=lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi)[/mm]
Hmmmm, das gefällt mir nicht ! Ist Dir nicht aufgefallen, dass Du zu Deinem Resultat ohne(!) die Dgl. gekommen bist ? Der Aufgabensteller sagt Dir, dass dann an Deinem Beweis etwas nicht in Ordnung ist ! Jetzt ist die Frage: was ist nicht in Ordnung ?
Das: ich wiederhole nochmal Dein Argument (mit einer etwas ausführlicheren Bezeichnungsweise):
zu jedem t>0 gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] $s_t \in [/mm] [t,t+1]$ mit
[mm] $x(t+1)-x(t)=x'(s_t)$.
[/mm]
Lässt man nun $t [mm] \to \infty$ [/mm] gehen, so folgt, da mit $t$ auch [mm] $s_t \to \infty$ [/mm] geht:
(*) [mm] $x'(s_t) \to x_1-x_1=0$.
[/mm]
Damit hast Du aber $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)=0$ nicht gezeigt ! Denn Du hast in eine spezielle(!) Annäherung des Arguments in $x'$ gegen [mm] \infty [/mm] gewählt, nämlich [mm] (s_t).
[/mm]
Wie gesagt: die Dgl. hast Du nicht benutzt und ohne die wirds falsch (s.u.).
Deine Argumentation mit dem MWS ist gut und zu retten. Und zwar so: zunächst muss man zeigen, dass der Grenzwert $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)$ überhaupt existiert (in [mm] \IR). [/mm] Das geht über die Dgl, zusammen mit $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] $ und der Stetigkeit von $f$ so:
$ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x'(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}f(x(t))=f(x_1)$.
[/mm]
Daraus folgt dann (mit (*)):
$ [mm] f(x_1)= \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)= [mm] \lim_{t\rightarrow \infty}x'(s_t)=0$
[/mm]
> Aus der
> Stetigkeit von f folt: [mm]f(x_1)= f(\lim_{t\rightarrow \infty} x(t))=lim_{t\rightarrow \infty} f(x(t))=\lim_{t\rightarrow \infty}[/mm]
> x'(t)=0
>
> Ich habe nicht benutzt [mm]x(0)=x_0,[/mm] was mich verunsichert.
> Hätte ich das wo einbauen müssen?
Nein, natürlich nicht, denn [mm] x_0 [/mm] ist doch nur eine Bezeichnungsweise für $x(0)$.
(Wozu der Aufgabensteller diese Bezeichnung eingeführt hat, ist mir nicht bekannt. Womöglich geht die Aufgabe noch weiter).
>
> Nun zum Hinweis: Ich soll ein Bsp finden, wo
> [mm]\lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1[/mm] aber [mm]\lim_{t\rightarrow \infty}[/mm]
> x'(t) [mm]\not=0.[/mm] Also der Limes und die Ableitung nicht
> vertauscht werden darf.
> Ich war noch nie gut darin ein bsp für einen Fall zu
> kontsruieren, habt ihr da einen Vorschlag wie ich mir das
> am besten überlegen kann?
Tja, das ist mir das Fresnel- Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\sin(s^2) ds} [/mm]
eingefallen. Dieses Integral ist konvergent und und $= [mm] \bruch{\wurzel{2 \pi}}{4}$
[/mm]
Jetzt wirst Du Fragen: wie das ?
Es gibt eine große Analogie zwischen unendlichen Reihen und uneigentlichen Integralen vom Typ [mm] \integral_{0}^{\infty}{g(s) ds}, [/mm] die aber ihre Grenzen hat !
Ist z.B. [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergent, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge. Ist aber [mm] \integral_{0}^{\infty}{g(s) ds} [/mm] konvergent, so gilt i.a. nicht, dass $g(s) [mm] \to [/mm] 0$ strebt für $s [mm] \to \infty$.
[/mm]
Das fiel mir ein und damit kommt man auch zu einem prima Gegenbeispiel:
Wir nehmen die Funktion x(t):= [mm] \integral_{0}^{t}{\sin(s^2) ds}.
[/mm]
Dann wissen wir( s.o.):
$x(t) [mm] \to \bruch{\wurzel{2 \pi}}{4}$ [/mm] für $t [mm] \to \infty$.
[/mm]
Nach dem Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung ist
[mm] $x'(t)=\sin(t^2)$.
[/mm]
Also ex. [mm] $\lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)$ nicht !
Gruß FRED
P.S.: ich wäre sehr interessiert an einem "einfacheren" Gegenbeispiel.
>
> lg sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Do 31.03.2016 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank.
Ich dachte, da ich ja für x [mm] \in C^1 [/mm] die Dgl. anwende, dass dies die Fehlerfalle gewesen ist.
Da bin ich dann doch in die Falle geraten. Danke für´s Aufmerksam machen!
Ich hab leider bis jetzt kein einfacheres Bsp gefunden.
LG,
sissi
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