Grenzwert, Logarithmus,klein o < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mo 22.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man beweise:
log(1+x)=x+o(|x|) für x-> 0 |
Hallo zusammen,
Eine Aufgabe von Forster Analysis 1. Demstsprechend soll man für das Lösen der Aufgabe keine Taylorreihe oder Differentation verwenden.
Mit log(.) ist der natürliche Logarithmus gemeint.
[mm] x\in [/mm] (-1, [mm] \infty) [/mm] dann ist log(1+x) definiert.
log(1+x)=x+o(|x|) bedeutet log(1+x) - x= o(|x|)
Nach der Definition von dem landau-Symbol ist zu zeigen:
[mm] lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm]
bzw. die äquivalente Definition:
[mm] \forall \epsilon>0 [/mm] , [mm] \exists\delta:| [/mm] log(1+x)-x [mm] |\le \epsilon*|x| [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] (-1, [mm] \infty) [/mm] mit |x| < [mm] \delta
[/mm]
Ich hatte den Verdacht, dass mir der bekannte Grenzwert von [mm] lim_{x->0} \frac{e^x -1}{x}=1 [/mm] weiterhilft. Bin aber zu nichts vorzeigbaren gekommen.
Tips würden mich sehr freuen,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 22.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Du hast es ja schon richtig erkannt:
$log(1+x)=x+o(|x|)$ für $x [mm] \to [/mm] 0 $ ist gleichbedeutend mit
(*) $ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm] $.
Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit
$ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm] $.
Definiere f(x):= log(1+x)-x
dann:
[mm] \frac{log(1+x)-x}{x}= \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to [/mm] f'(0)=0 für x [mm] \to [/mm] 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Di 23.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo fred,
Danke für die Antwort.
> (*) $ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm] $.
> Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit
> $ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm] $.
Aber für x [mm] \in [/mm] ]-1, [mm] \infty[ [/mm] ist doch der Logairthmus auch noch definiert?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 23.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
> Danke für die Antwort.
>
> > (*) [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm].
>
> > Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit
>
>
> > [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm].
>
> Aber für x [mm]\in[/mm] ]-1, [mm]\infty[[/mm] ist doch der Logairthmus auch
> noch definiert?
Ja, aber wo ist Dein Problem ???
FRED
>
> LG,
> sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 23.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissi,
> Hallo fred,
> Danke für die Antwort.
>
> > (*) [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm].
>
> > Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit
>
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> > [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm].
>
> Aber für x [mm]\in[/mm] ]-1, [mm]\infty[[/mm] ist doch der Logairthmus auch
> noch definiert?
damit kann Fred seine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] auch auf [mm] $]-1,\infty[$ [/mm] definieren. Für die
Aufgabe würde es aber reichen, wenn er sie etwa auf einem Intervall
[mm] $]-\delta,\delta[$
[/mm]
mit einem $0 [mm] \red{\,<\,} \delta \le [/mm] 1$ definieren würde. Etwas schlecht wäre es, wenn Freds
[mm] $f\,$ [/mm] (mit [mm] $f(x)=\log(1+x)-x\,$) [/mm] nur für $x > [mm] 0\,$ [/mm] definiert wäre; warum wäre das
wohl *noch nicht aussagekräftig genug*?
Gruß,
Marcel
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