Grenzwert Partialbruchzerlegun < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Do 23.09.2010 | | Autor: | suarsg |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den Grenzwert der Folge
[mm] \summe_{n=3}^{N \ge 3}\bruch{2n^2+4}{n^4-5n^2+4} [/mm] |
Ich habe schonmal die Partialbruchzerlegung gemacht und kam so weit nun auf:
[mm] \bruch{-1}{n-1}+\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-2}+\bruch{-1}{n+2}
[/mm]
Nun fehlt mir aber leider der Ansatz wie ich nun von dem auf die Lösung, also den Grenzwert komme?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Do 23.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den
> Grenzwert der Folge
> [mm]\summe_{n=3}^{N \ge 3}\bruch{2n^2+4}{n^4-5n^2+4}[/mm]
> Ich habe
> schonmal die Partialbruchzerlegung gemacht und kam so weit
> nun auf:
>
> [mm]\bruch{-1}{n-1}+\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-2}+\bruch{-1}{n+2}[/mm]
>
> Nun fehlt mir aber leider der Ansatz wie ich nun von dem
> auf die Lösung, also den Grenzwert komme?
> Vielen Dank!
Hallo,
vorausgesetzt, die PBZ stimmt, so erhältst du für n=3 den Term
[mm]\bruch{-1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{1}-\bruch{1}{5}[/mm],
für n=4 den Term
[mm]\bruch{-1}{3}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{6}[/mm]
usw.
Wenn du die Summe all dieser Terme bildest, hebt sich vieles auf.
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 24.09.2010 | | Autor: | suarsg |
Danke, aber leider hilft mir das nicht weiter. Dass sich da vieles aufhebt weiß ich ja und den Grenzwert kann man ja (wie meistens bei Folgen) schon direkt ablesen. Leider reicht das als "korrekte" Antwort bei einer Klausur/HA nicht :)
Ich stehe halt auf dem Schlauch wie ich diesen Grenzwert von so einer Summe schritt für schritt, mathematisch korrekt, berechne.
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Hallo,
ohne die Korrektheit deiner PBZ überprüft zu haben.
Der Reihenwert (sofern er existiert) ist [mm]\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{2n^2+4}{(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)}[/mm]
[mm]=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=3}^k\frac{2n^2+4}{(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)}[/mm]
[mm]=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=3}^k\left[\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n-2}\right][/mm] nach deiner PBZ
Die Summe kannst du auseinanderziehen:
[mm] $\sum\limits_{n=3}^k\left[\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n-2}\right]=\sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n+1} [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n-1} [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n+2} [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n-2}$
[/mm]
Ich betrachte nun mal nur die ersten beiden Summen, mit den anderen verfahre analog:
Wir machen eine Indexverschiebung: Wir vermindern den Laufindex n "an" der 2.Summe um 2 und gleichen das aus, indem wir das n innerhalb der Summe um 2 erhöhen:
[mm] $\sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n+1} [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n-1}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n+1} [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{n=3\red{-2}}^{k\red{-2}}\frac{1}{n-1\red{+2}}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{n=3}^k\frac{1}{n+1} [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{n=1}^{k-2}\frac{1}{n+1}$
[/mm]
Diese Summen sind nun fast gleich, die hintere hat lediglich für n=1,2 Summanden, die nicht in der ersten vorkommen, dafür kommen in der ersten die Summanden für $n=k-1,k$ vor, die nicht in der 2.Summe vorkommen.
Bleibt für die Differenz der Summen [mm] $\underbrace{\frac{1}{\blue{k-1}+1}}_{\text{Summand für \blue{n=k-1} aus der 1.Summe}} [/mm] \ + [mm] \underbrace{\frac{1}{\blue{k}+1}}_{\text{Summand für \blue{n=k} aus der 1.Summe}} [/mm] \ - \ [mm] \underbrace{\frac{1}{\blue{1}+1}}_{\text{Summand für \blue{n=1} aus der 2.Summe}} [/mm] \ - \ [mm] \underbrace{\frac{1}{\blue{2}+1}}_{\text{Summand für \blue{n=2} aus der 2.Summe}}$
[/mm]
Alle anderen Summanden tauchen in beiden Summen auf und heben sichwegen der verschiedenen Vorzeichen weg.
Analog für die anderen beiden Summen und letztendlich den [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}$ [/mm] von allem nehmen ...
Bleiben die konstanten Brüche übrig.
Gruß
schachuzipus
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