Grenzwert Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:38 Do 27.11.2008 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*sin(An)*exp(-Bn^{2}) [/mm] mit A [mm] \varepsilon \IR [/mm] und B > 0 konvergiert.
Hinweis: Benutzen Sie das Majorantenkriterium und u.a. die Ungleichung [mm] e^{x} [/mm] > X , für alle X > 0. |
Hallo,
habe das Majorantenkriterium angewant und kam dabei auf:
| [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n}*sin(An)*exp(-Bn^{2}) [/mm] | [mm] \le \bruch{(-1)^{n}}{n}*exp(-Bn^{2}) [/mm] .
So....nur ich versteh nicht ganz wie ich die Ungleichung jetzt benutzen soll, da ja der Exponent in e negativ ist und nicht positiv :X
Und naja die Folge [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] müsste ja an sich gegen 0 konvergieren oder ist das falsch? oder muss man den ganzen Faktor betrachten?
Komme gerade nicht weiter. Bitte um Hilfe
MfG Tomi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*sin(An)*exp(-Bn^{2})[/mm]
> mit A [mm]\varepsilon \IR[/mm] und B > 0 konvergiert.
> Hinweis: Benutzen Sie das Majorantenkriterium und u.a. die
> Ungleichung [mm]e^{x}[/mm] > X , für alle X > 0.
> Hallo,
> habe das Majorantenkriterium angewant und kam dabei auf:
> | [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}*sin(An)*exp(-Bn^{2})[/mm] | [mm]\le \bruch{(-1)^{n}}{n}*exp(-Bn^{2})[/mm]
> .
Das ist schon mal nicht richtig, Du hast Beträge unterschlagen : [mm] |(-1)^n/n| [/mm] = 1/n
Also: | [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}*sin(An)*exp(-Bn^{2})[/mm] | [mm]\le (1/n)*exp(-Bn^{2})[/mm]
Es ist [mm] exp(Bn^{2})> Bn^2, [/mm] also [mm] exp(-Bn^{2}) [/mm] < [mm] \bruch{1}{Bn^2}, [/mm] somit
| [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}*sin(An)*exp(-Bn^{2})[/mm] | [mm]\le (1/n)*exp(-Bn^{2})[/mm] < [mm] \bruch{1}{Bn^3}
[/mm]
FRED
> So....nur ich versteh nicht ganz wie ich die Ungleichung
> jetzt benutzen soll, da ja der Exponent in e negativ ist
> und nicht positiv :X
> Und naja die Folge [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] müsste ja an sich
> gegen 0 konvergieren oder ist das falsch? oder muss man den
> ganzen Faktor betrachten?
> Komme gerade nicht weiter. Bitte um Hilfe
>
> MfG Tomi
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