Grenzwert Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] a_1 = 0, a_2 = 1, a_n = \bruch{1}{2} (a_{n-1} + {a_{n-2} [/mm]. Beweisen Sie: [mm] \limes_{n \to \infty}a_n = \bruch{2}{3}[/mm].
Hinweis: Betrachten Sie die Hilfsolge [mm]x_n = a_n - a_{n-1} [/mm] und leiten Sie eine Formel her, die [mm]x_n[/mm] durch [mm]x_{n-1} [/mm] ausdrückt. |
Hallo Zusammen,
ich komme mit dieser Aufgabe leider einfach komplett nich klar, weil mich der Hinweis nicht weiterbringt.
Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.
Liebe Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Do 21.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zeichne das mal auf dem Zahlenstrahl auf. [mm] a_n [/mm] liegt immer genau in der Mitte zwischen den 2 Vorgaengern., d.h. du hast sowas wie ne [mm] Intervallschachtelung.x_n [/mm] gibt dann die jeweilige laenge des Intevalls. Mach das mal ein paar Schritte weit.
Gruss leduart
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> Hallo
> Zeichne das mal auf dem Zahlenstrahl auf. [mm]a_n[/mm] liegt immer
> genau in der Mitte zwischen den 2 Vorgaengern., d.h. du
> hast sowas wie ne [mm]Intervallschachtelung.x_n[/mm] gibt dann die
> jeweilige laenge des Intevalls. Mach das mal ein paar
> Schritte weit.
> Gruss leduart
Ok, anschaulich kann ich das nachvollziehen. Trotzdem kann ich leider den Grenzwert dadurch nicht formal bestimmen. Wie ist denn da der Ansatz?
Liebe Grüße, Philipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 21.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
berechne einfach mal [mm] a_n-a_{n-1} [/mm] und ersetzte dann jeweils [mm] a_n-a_{n-1} [/mm] durch [mm] x_n.
[/mm]
Danach bestimme [mm] x_2 [/mm] als Anfangsbedingung aus [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_1. [/mm] Auflösen der Rekursion führt zu
[mm] x_n=4\left(-\bruch{1}{2}^n\right)
[/mm]
Dann die Substitution für [mm] x_n [/mm] wieder Rückgängig machen, die Anfangsbediengungen für [mm] a_n [/mm] berücksichtigen und die Rekursion auflösen führt auf eine geometrische Reihe die man nach bekannter Formel löst.
mfg ullim
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Also
[mm]a_n - a_{n-1} = \bruch{1}{2} (a_{n-1} + a_{n-2}) - \bruch{1}{2} (a_{n-2} + a_{n-3})[/mm]
[mm]= \bruch{1}{2} (a_{n-1} - a_{n-3})[/mm]
und
[mm]x_2 = \bruch{1}{2}[/mm]
[mm]x_n = a_n - a_{n-1}[/mm]
Ich verstehe leider nicht, was ich damit gewonnen habe, insbesondere wie ich jetzt [mm] x_n [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_{n-1} [/mm] ausdrücken kann. Die a's bleiben doch immer in der Gleichung.
Liebe Grüße,
Philipp.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 21.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte gesagt, ein paar Glieder. also noch die naechsten 3 etwa, dann siehst du wie es laeuft. und kannst die allgemeine Formel herleiten, oder durch induktion zeigen.
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Do 21.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich dachte mir das so
[mm] x_n:=a_n-a_{n-1}=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})-a_{n-1}=-\bruch{1}{2}(a_{n-1}-a_{n-2})=:-\bruch{1}{2}x_{n-1}
[/mm]
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Do 21.05.2009 | | Autor: | Nice28734 |
Oh oh. Da hab ich ja mal den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Danke für die Hilfe, Aufgabe ist gelöst.
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