Grenzwert Teleskopsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+3)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(k+1)(k+2)}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] |
Ich komme mit dem Grenzwert von Reihen überhaupt nicht zurecht! Ich hoffe ihr könnt mir da etwas helfen.
zu a)
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+3)}
[/mm]
Hier habe ich mich an einem ähnlichen Beispiel orientiert:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+1)}= [/mm] a) [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k+1}{k*(k+1)}- \bruch{1}{k*(k+1)}= \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Aber wegen der 3 kriege ich das hier nicht hin. Bitte erklärt mir das nochmal, ich verstehe das nicht.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Do 30.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \bruch{1}{k(k+3)}=\bruch{1}{3}\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+3}\right)
[/mm]
Jetzt Summieren und eine Indexverschiebung vornehmen. Dann fallen viele Terme fort und man kann den Grenzwert berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke, für das Beispiel ists mir nun klar!
Aber bei einem andern Beispiel hänge ich wieder. Ist das tatsächlich eine Teleskopsumme??
[mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1+(-1)^k}{2^k}
[/mm]
Hier habe ich gar keine Ahnung wie ich den Grenzwert bestimmen kann.
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
LG
heinze
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Hallo,
> Danke, für das Beispiel ists mir nun klar!
>
> Aber bei einem andern Beispiel hänge ich wieder. Ist das
> tatsächlich eine Teleskopsumme??
>
>
> [mm]\summe_{k=2}^{n}\bruch{1+(-1)^k}{2^k}[/mm]
>
> Hier habe ich gar keine Ahnung wie ich den Grenzwert
> bestimmen kann.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Das sehe ich nicht als Teleskopsumme, es ist jedoch definitiv eine geometrische Reihe, wenn man genau hinschaut. Mache dir klar, was das alternierende Vorzeichen des zweiten Summanden bewirkt!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Durch [mm] (-1)^k [/mm] wird der Zähler für ungerade k Null ansonsten 2.
Also gibt hier gar keinen grenzwert??
LG
heinze
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Hallo,
> Durch [mm](-1)^k[/mm] wird der Zähler für ungerade k Null
> ansonsten 2.
>
> Also gibt hier gar keinen grenzwert??
Doch. Lasse mal in Gedanken alle die Glieder wegfallen, bei denen der Zähler Null ist. Die verbliebenen Reihenglieder kann man so umformen, dass man wieder eine geometrische Reihe hat mit |q|<1. Man muss dbaei aber beachten, dass man auch die Tatsache, dass zunächst nur gerade Indizes einen Beitrga zum Reihenwert liefern, noch 'reparieren muss'. Dann kommt immerhin eine Reihe heraus, deren Index mit k=1 beginnt...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Sorry Diophant, ich sehe es wirklich nicht! Grenzwert von Reihen an sich ist für mich schon eine elendig komplizierte Sache, aber bei dieser Aufgabe scheitere ich. Ich weiß, dass nur gerade k hier angenommen werden dürfen, aber wie man das ausdrückt weiß ich nicht. Ich könnte höchstens mit k=1 beginnen und die Indizes würden dann automatisch k-1 lauten. Aber das passt ja auch wieder nicht!
LG
heinze
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Hallo,
[mm]\frac{2}{2^m}= \frac{1}{2^{m-1}}
[/mm]
[mm]2^{2n}=4^m[/mm]
Das sind so die Tools, die du hier benötigst...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Ich weiß nicht wo ich das hier wie anwenden soll. Kannst du mir die Aufgabe vielleicht vorrechnen? Oder eine Ähnliche? Sitze seit heute früh dran, aber wie man sieht ohne Erfolgt. Alles Weitere was ich mehr oder weniger hinbekommen habe, habe ich bereits im Forum alles vorgerechnet.
Ich möchte die Aufgabe gerne verstehen! Bzw den Aufgabentyp!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 30.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Bei der [mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1+(-1)^k}{2^k} [/mm] ergeben die ungeraden Werte für k den Wert 0. Durch Indexverschiebung kann man die Summe auch so schreiben
[mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1+(-1)^k}{2^k}=\summe_{k=1}^{\left[\bruch{n}{2}\right]}\bruch{2}{2^{2k}} [/mm] wobei [mm] \left[\bruch{n}{2}\right] [/mm] die größte natürliche Zahl kleiner oder gleich [mm] \bruch{n}{2} [/mm] ist.
Jetzt kann man die Formeln für die geometrische Reihe mit den Hinweisen von Diophant anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Erhalte ich hier als Grenzwert 4/3 ??
Wenn ja, dann habe ich es verstanden.
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Erhalte ich hier als Grenzwert 4/3 ??
>
> Wenn ja, dann habe ich es verstanden.
Wie hast Du den GW denn erhalten?
Richtig wäre [mm] \tfrac{2}{3}.
[/mm]
Rechne doch mal vor.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
so langsam krieg ich hier echt die Krise:
[mm] (1-\bruch{1}{4})\summe_{k=1}^{\bruch{n}{2}}\bruch{2}{4^{k-1}}=\summe_{k=1}^{\bruch{n}{2}}\bruch{2}{4^{k-1}}-\summe_{k=1}^{\bruch{n}{2}}\bruch{2}{4^k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{\bruch{n}{2}}\bruch{2}{4^{k-1}}-\summe_{k=2}^{\bruch{n}{2}+1}\bruch{2}{4^{k-1}}
[/mm]
= [mm] 1+\summe_{k=2}^{\bruch{n}{2}}\bruch{2}{4^{k-1}}-\summe_{k=2}^{\bruch{n}{2}}\bruch{2}{4^{k-1}}-\bruch{1}{4^n}
[/mm]
[mm] =1-\bruch{1}{4^n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = 4/3
LG
heinze
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Hallo heinze,
deine Rechnung ergibt so keinen Sinn.
> so langsam krieg ich hier echt die Krise:
Und das ist, um offen zu sprechen, dein Problem, nicht unseres. Und es gehört nicht in eine solche Forendiskussion.
Es ist
[mm] \sum_{k=2}^{n} \frac{1+(-1)^k}{2^k}= \sum_{k=1}^{ \frac{n}{2}} \frac{1}{2^{2k-1}}=2*\sum_{k=1}^{ \frac{n}{2}} \frac{1}{2^{2k}} [/mm]
für gerade n (was man hier o.B.d.A. tun darf). Wenn du das jetzt mal sauber nachrechnest, dann führt das für [mm] n->\infty [/mm] genau auf den von reverend angegebenen Grenzwert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Fr 31.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi Diophant,
richtigerweise muss es [mm] \left[\bruch{n}{2}\right] [/mm] heissen und nich nur [mm] \bruch{n}{2}, [/mm] denn n muss ja nicht unbedingt gerade sein, s. meinen Beitrag von gestern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 30.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
das Ergebnis hängt ja auf jeden Fall von n ab.
Wenn [mm] m=\left[\bruch{n}{2}\right] [/mm] ist dann gilt für
[mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1+(-1)^k}{2^k}=\summe_{k=1}^{\left[\bruch{n}{2}\right]}\bruch{2}{2^{2k}}=2*\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}
[/mm]
mit [mm] q=\bruch{1}{4}
[/mm]
für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ist das Ergebnis [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
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