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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Di 07.07.2015 | | Autor: | Unimat |
Ich soll den Grenzwert folgender Funktion berechnen:
√e^3x -4x
Dabei ist der Wurzelexponent x.
x soll gegen 0 gehen.
Das einzige das ich mir vorstellen konnte war für x die 0 einzusetzen allerdings ist das Ergebnis dann falsch. Man soll als Ergebnis auf e^-1 kommen. Allerdings finde ich den Rechenweg nicht.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Unimat, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist leider so nicht lesbar.
> Ich soll den Grenzwert folgender Funktion berechnen:
>
> √e^3x -4x
>
> Dabei ist der Wurzelexponent x.
> x soll gegen 0 gehen.
Das verstehe ich so: gesucht ist [mm] \lim_{x\to 0}\sqrt{e^3}^x-4x
[/mm]
Das hat aber ein anderes Ergebnis als das von Dir genannte.
Bitte verwende doch den Formeleditor. Er ist einfach zu bedienen, und dann ist klar, was Du eigentlich meinst.
Danke!
Grüße
reverend
> Das einzige das ich mir vorstellen konnte war für x die 0
> einzusetzen allerdings ist das Ergebnis dann falsch. Man
> soll als Ergebnis auf e^-1 kommen. Allerdings finde ich den
> Rechenweg nicht.
>
> Vielen Dank
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Di 07.07.2015 | | Autor: | Unimat |
Ich soll den Grenzwert folgender Funktion berechnen:
√e^3x -4x
Dabei ist der Wurzelexponent x.
x soll gegen 0 gehen.
edit (reverend): mit den Angaben unten also:
gesucht ist [mm] \blue{\lim_{x\to 0}\wurzel[x]{e^{3x}-4x}}
[/mm]
Das einzige das ich mir vorstellen konnte war für x die 0 einzusetzen allerdings ist das Ergebnis dann falsch. Man soll als Ergebnis auf e^-1 kommen. Allerdings finde ich den Rechenweg nicht.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für die Antwort:) Die 4x ist noch in der Wurzel.
wurzel[x]{e^3x -4x}
Ich kann es leider nicht abtippen. :( Ich hoffe es ist jetzt verständlicher. Also 3x über dem e und die -4x noch in der Wurzel
Dankee...
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Hallo nochmal,
ich habe Deine Frage mal editiert, dann können auch andere die Aufgabenstellung leichter verstehen.
Allerdings habe ich gerade nur einen eher fraglichen Lösungsweg vor Augen:
gesucht [mm] \lim_{x\to 0}\wurzel[x]{e^{3x}-4x}=\lim_{x\to 0}(e^{3x}-4x)^{1/x}
[/mm]
Wir wissen, dass bei x=0 die Tangente an [mm] f(x)=e^{3x} [/mm] die Gerade y=3x+1 ist und berechnen also
[mm] \lim_{x\to 0}(3x+1-4x)^{1/x}=\lim_{x\to 0}(1-x)^{1/x}=\lim_{t\to\infty}\left(1-\bruch{1}{t}\right)^t=e^{-1}=\bruch{1}{e}
[/mm]
Das stimmt zwar, ist aber nicht sauber...
Warten wir mal auf jemanden, der dazu eine korrekte Lösung vorschlagen kann. Mir fällt gerade keine ein.
Ich stelle die Frage daher mal nur auf teilweise beantwortet, dann können andere Mitglieder sie noch sehen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:52 Di 07.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Unimat!
> edit (reverend): mit den Angaben unten also:
>
> gesucht ist [mm]\blue{\lim_{x\to 0}\wurzel[x]{e^{3x}-4x}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das einzige das ich mir vorstellen konnte war für x die 0
> einzusetzen allerdings ist das Ergebnis dann falsch.
Die 0-te Wurzel einer Zahl ist auch üblicherweise gar nicht definiert...
Für welche $x$ ist der Ausdruck $\wurzel[x]{e^{3x}-4x}}$ überhaupt definiert?
Für alle $x>0$ mit $e^{3x}-4x>0$.
Man kann sich z.B. mittels "Kurvendiskussion" überlegen, dass die Bedingung $e^{3x}-4x>0$ schon für alle $x>0$ erfüllt ist.
Für die Untersuchung des Limes aus der Aufgabenstellung genügt es hingegen schon, dass für ein gewisses $\delta>0$ die Bedingung $e^{3x}-4x>0$ für alle $x\in(0,\delta)$ erfüllt ist.
Das ergibt sich z.B. aus der Stetigkeit der Abbildung
$f\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto e^{3x}-4x$
und $f(0)=1>0$.
Nun zur Bestimmung des gesuchten Limes:
Für alle $x>0$ (mit $e^{3x}-4x>0$) ist
$\wurzel[x]{e^{3x}-4x}}=(e^{3x}-4x)^{\frac{1}{x}}=exp\left(\frac{1}{x}*\ln(e^{3x}-4x)\right)$.
(Bis hierhin habe ich nur die Definitionen von Wurzel und Potenz benutzt.)
Gesucht ist somit
$\lim_{x\to0}exp\left(\frac{1}{x}*\ln(e^{3x}-4x)\right)$.
Bestimme dazu zunächst
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}*\ln(e^{3x}-4x)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(e^{3x}-4x)}{x}$
mittels L'Hospital.
Viele Grüße
Tobias
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