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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert für: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}(\bruch{3}{5})^{k}\summe_{l=0}^{k}(\bruch{3}{2})^l [/mm] |
Wie gehe ich vor?
Ich habe ja geometrische Reihen bzw. deren Partialsummen vorliegen, richtig? Da bei der ersten Summe |q|<1 ist kann ich doch dafür schreiben [mm] \bruch{1}{1-\bruch{3}{5}} [/mm] oder? Wie sieht es bei der zweiten Summe aus? Ist mein Ansatz überhaupt richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist doch wohl nicht ein Produkt von summen deshalb ist deine formel erstmal sinnlos.
rechne zuerst die innere Summe aus, das ist ja auch ein Teil einer geom. Reihe, deren Summe du kennen solltest.
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Ich weiß leider nicht was du meinst und auch nicht was du mit "innerer" Summe meinst. :/
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Hallo SturmGhost,
> Ich weiß leider nicht was du meinst und auch nicht was du
> mit "innerer" Summe meinst. :/
Tja, es geht um die ungenaue Notation. Aus den Summenindizes erschließt man, dass es nicht um diese Aufgabe geht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}(\bruch{3}{5})^{k}\right)*\left(\summe_{l=0}^{k}(\bruch{3}{2})^l\right)
[/mm]
..., sondern wohl um diese:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left((\bruch{3}{5})^{k}\summe_{l=0}^{k}(\bruch{3}{2})^l\right)
[/mm]
Sonst macht die Aufgabe wenig Sinn. Mit den großen Klammern ist aber deutlich, was da wie summiert wird - und die rechte Summe ist dann die "innere", weil sie bei jedem Schritt der äußeren Summe wieder neu zu bilden ist.
Genau darum sollst Du sie auch zuerst untersuchen, so dass Du sie ersetzen kannst und damit nur noch eine Summe zu bearbeiten bleibt.
Grüße
reverend
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Naja die Aufgabe steht 1 zu 1 so in der Altklausur...
Mit was kann ich denn die innere Summe ersetzen? Mit [mm] \bruch{1-q^{l+1}}{1-q} [/mm]
[mm] q=\bruch{3}{2}? [/mm]
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Hallo,
> Naja die Aufgabe steht 1 zu 1 so in der Altklausur...
>
> Mit was kann ich denn die innere Summe ersetzen? Mit
> [mm]\bruch{1-q^{l+1}}{1-q}[/mm]
Nicht ganz. Der Exponent l+1 ist falsch. Es sollte k+1 sein, schließlich summierst du ja bis k.
Du hast:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}(\bruch{3}{5})^{k}\bruch{1-(3/2)^{k+1}}{1-(3/2)}
[/mm]
Diese Summe musst du nun behandeln.
>
> [mm]q=\bruch{3}{2}?[/mm]
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Habe die Aufgabe noch einmal versucht mit eher wenig Erfolg, also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k*\bruch{1-\left(\bruch{3}{2}\right)^{k+1}}{1-\bruch{3}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k*\bruch{1-\bruch{3}{2}*\left(\bruch{3}{2}\right)^{k}}{-\bruch{1}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k*\left(-2+3*\left(\bruch{3}{2}\right)^k\right)
[/mm]
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Hallo Sturmgeist,
wieso ohne Erfolg? Das sieht doch gut aus!
> Habe die Aufgabe noch einmal versucht mit eher wenig
> Erfolg, also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k*\bruch{1-\left(\bruch{3}{2}\right)^{k+1}}{1-\bruch{3}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k*\bruch{1-\bruch{3}{2}*\left(\bruch{3}{2}\right)^{k}}{-\bruch{1}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k*\left(-2+3*\left(\bruch{3}{2}\right)^k\right)[/mm]
Ja, alles gut.
Jetzt solltest Du ausmultiplizieren und die Summe auftrennen. Dann hast Du zwei geometrische Reihen.
Grüße
reverend
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}-2*\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k+3*\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{9}{10}\right)^k=-2*\bruch{5}{2}+3*10\to25
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}-2*\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k+3*\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{9}{10}\right)^k=-2*\bruch{5}{2}+3*10\to25[/mm]
Das Ergebnis stimmt, aber deine Darstellung ist falsch.
Am Ende musst du es wie folgt aufschreiben:
[mm] \to-2*\bruch{5}{2}+3*10=25
[/mm]
DieAcht
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Hallo,
gute und weiter bringende Antwort. Kennst du den Mitteilungsbutton?
> Hallo,
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}-2*\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{3}{5}\right)^k+3*\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{9}{10}\right)^k=-2*\bruch{5}{2}+3*10\to25[/mm]
>
> Das Ergebnis stimmt, aber deine Darstellung ist falsch.
>
> Am Ende musst du es wie folgt aufschreiben:
>
> [mm]\to-2*\bruch{5}{2}+3*10=25[/mm]
Der Pfeil ergibt sowohl in der Antwort des Fragestellers als auch in deinem Vorschlag überhaupt keinen Sinn.
Da steht doch ein [mm] $\lim\limtis_{n\to\infty}$ [/mm] vor den Summen (auch, wenn Klammern fehlen)
Da müssen überall Gleichheitszeichen hin ...
>
>
> DieAcht
>
Gruß
schachuzipus
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