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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^3+4)*n^{2n-1}}{(n^2+1)^{n+1}} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^3+4)*n^{2n-1}}{(n^2+1)^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^3+4)*n^{2n}}{(n^2+1)^{n+1}*n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3+4}{n}*\bruch{1}{n^2+1}*\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3+4}{n^3+n}*\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{4}{n^3}}{1+\bruch{1}{n^2}}*\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^n=1*\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^n
[/mm]
Was ist der Grenzwert von dem Bruch? Ohne das Quadrat wäre es ja [mm] e^{-1} [/mm] gewesen...
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Hiho,
> Was ist der Grenzwert von dem Bruch?
1
Gruß,
Gono.
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Gibts dazu auch eine Umformung? In der Lösung sehe ich etwas mit [mm] \wurzel[n]{e}
[/mm]
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Hiho,
> Gibts dazu auch eine Umformung? In der Lösung sehe ich etwas mit [mm]\wurzel[n]{e}[/mm]
da gibt es mehrere Möglichkeiten, ich nenne dir mal zwei:
1.) Wie deine "Lösung" vermuten lässt, durch Abschätzen nach oben und unten, meist auch "Sandwich"-Lemma genannt. Und zwar mit Hilfe des von dir erkannten.
[mm] $\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^n [/mm] = [mm] \sqrt[n]{\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}}$
[/mm]
Nun gilt wegen [mm] $\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2} \to \bruch{1}{e}$ [/mm] für n ausreichend groß:
[mm] $\sqrt[n]{\bruch{1}{e} - 0.1} \le \sqrt[n]{\left(\bruch{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}} \le \sqrt[n]{\bruch{1}{e} + 0.1}$
[/mm]
Und daraus folt das Gewünschte.
2.) Generell sollte man sich merken: [mm] $\lim_{n\to\infty} |x_n|^n [/mm] = c > 0 [mm] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}|x_n| [/mm] = 1$
Kannst du ja mal beweisen 
Gruß,
Gono.
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