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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow 0}(sin(|x|)^{\bruch{1}{|x|}}) [/mm] |
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow 0}e^{\bruch{ln(sin(|x|))}{|x|}}
[/mm]
Exponenten betrachten $ [mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(|x|))}{|x|}$
[/mm]
Wie läuft das jetzt mit dem Betrag? Muss ich nun betrachten:
1. $ [mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x} [/mm] $ = [mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x}
[/mm]
2. [mm] $\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(-x))}{-x}$
[/mm]
oder wie funktioniert das mit Beträgen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Sa 08.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Grenzwert: [mm]\limes_{n\rightarrow 0}(sin(|x|)^{\bruch{1}{|x|}})[/mm]
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow 0}e^{\bruch{ln(sin(|x|))}{|x|}}[/mm]
>
> Exponenten betrachten [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(|x|))}{|x|}[/mm]
>
> Wie läuft das jetzt mit dem Betrag? Muss ich nun
> betrachten:
>
> 1. [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x}[/mm]
>
> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(-x))}{-x}[/mm]
>
> oder wie funktioniert das mit Beträgen?
Hallo,
mach es nicht so kompliziert.
Für die Funktion [mm] $f(x)=sin(|x|)^{\bruch{1}{|x|}}$ [/mm] gilt f(x)=f(-x).
Damit genügt die Betrachtung des Falls x>0.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
diese Antwort trifft auch auf die Funktionen [mm] |sin(x)|^\bruch{1}{|x|} [/mm] und [mm] sin(|x|^\bruch{1}{|x|}) [/mm] zu.
Gruß Sax.
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Hm, wie kommt man darauf? Einfach etwas einsetzen und feststellen das für x und -x jeweils das Gleiche herauskommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 08.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hm, wie kommt man darauf? Einfach etwas einsetzen und
> feststellen das für x und -x jeweils das Gleiche
> herauskommt?
Grundwissen (seit du die Klasse 7 besucht hast): Der Betrag einer Zahl und der Betrag der dazu entgegengesetzten Zahl sind gleich.
Gruß Abakus
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Hm das weiß ich auch, kann ich aber auf die gegeben Funktion nicht anwenden...
Dann eben [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x} [/mm]
Jetzt L'Hospital?
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{1}=\limes_{x\rightarrow 0}cot(x)
[/mm]
Und was ist das? [mm] -\infty?
[/mm]
Also [mm] e^{-\infty}=0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Sa 08.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hm das weiß ich auch, kann ich aber auf die gegeben
> Funktion nicht anwenden...
>
>
> Dann eben [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x}[/mm]
>
> Jetzt L'Hospital?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{1}=\limes_{x\rightarrow 0}cot(x)[/mm]
>
> Und was ist das? [mm]-\infty?[/mm]
Wieso minus?
Wir waren gerade dabei, dass die Betrachtung der Annäherung an Null von der positiven Seite aus genügt.
Gruß Abakus
>
> Also [mm]e^{-\infty}=0[/mm]
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Der cot(x) hat doch eine Polstelle bei x=0 diese geht in meiner Zeichnung im Skript gegen [mm] -\infty
[/mm]
Edit: Okay von links betrachtet. Von rechts wäre er Null. Also [mm] e^0=1 [/mm] aber diese Lösung ist falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 08.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Der cot(x) hat doch eine Polstelle bei x=0 diese geht in
> meiner Zeichnung im Skript gegen [mm]-\infty[/mm]
>
> Edit: Okay von links betrachtet. Von rechts wäre er Null.
> Also [mm]e^0=1[/mm] aber diese Lösung ist falsch.
Die Voraussetzung für L'Hôpital ist doch nicht erfüllt!
DieAcht
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Weil ln(0) nicht =0 ist sondern einfach nicht definiert oder warum nicht?
Wie mache ich das nun anders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Sa 08.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Weil ln(0) nicht =0 ist sondern einfach nicht definiert
> oder warum nicht?
Du hattest doch folgendes für $x>0$ betrachtet:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(sin(x))}{x}
[/mm]
Dann hast du L'Hopital angewendet, aber das ist falsch, denn es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}ln(sin(x))=-\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x=0
[/mm]
Damit war die Voraussetzung für L'Hôpital nicht erfüllt!
Überlege dir also einen neuen anderen Ansatz um folgendes zu zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}sin(x)^{1/x}=0
[/mm]
DieAcht
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Mir fällt neben dem Exponential-Ansatz nichts anderes ein. ;/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 08.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Mir fällt neben dem Exponential-Ansatz nichts anderes ein.
[mm] $\sqrt[x]{x}\ge\sqrt[x]{\sin(x)}\ge [/mm] 0$ für alle $x>0$
DieAcht
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