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Hallo zusammen
Muss folgenden Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3} [/mm] )
Kann ich hier so argumentieren:
[mm] (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3} [/mm] ) [mm] \le (\wurzel[3]{n^3}-\wurzel[3]{n^3} [/mm] )=0 für n [mm] \ge [/mm] 3
&
[mm] (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3} )\ge (\wurzel[3]{n^2}-\wurzel[3]{n^2} [/mm] )=0
[mm] \Rightarrow [/mm] Nach Sandwichlemma: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3} [/mm] ) =0
Geht das so?
Wäre es auch anders möglich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Sa 08.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo zusammen
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> Muss folgenden Grenzwert berechnen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3}[/mm]
> )
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> Kann ich hier so argumentieren:
> [mm](\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3}[/mm] ) [mm]\le (\wurzel[3]{n^3}-\wurzel[3]{n^3}[/mm]
> )=0 für n [mm]\ge[/mm] 3
> &
> [mm](\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3} )\ge (\wurzel[3]{n^2}-\wurzel[3]{n^2}[/mm]
> )=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Nach Sandwichlemma: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3}[/mm]
> ) =0
> Geht das so?
Nein, das ist falsch, denn bei dir steht dort:
[mm] $0\ge\sqrt[3]{n^2+5}-\sqrt[3]{n^2+3}\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 3$
Deine Abschätzung nach unten ist richtig. Das Problem aber,
dass die Abschätzung nach oben so nicht stimmt.
> Wäre es auch anders möglich?
Im Grunde fehlt dir nur noch eine Abschätzung nach oben.
Den richtigen Grenzwert hast du bereits erraten, deshalb
könntest du auch direkt mit dem [mm] \epsilon-Kriterium [/mm] zeigen,
dass deine Folge eine Nullfolge ist.
Zeige also, dass es für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert,
sodass für alle $n>N$ folgendes gilt:
[mm] |a_n|<\epsilon
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Hallo Babybel,
es geht mit dem richtigen Ansatz auch viel schneller.
Bedenke [mm] (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3. [/mm] Das ist der Schlüssel.
> Muss folgenden Grenzwert berechnen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3}[/mm]
> )
Ja, sieht erstmal fies aus.
Aber nach Erweiterung mit [mm] \br{{\wurzel[3]{n^2+5}}^2+\wurzel[3]{(n^2+5)(n^2+3)}+{\wurzel[3]{n^2+3}}^2}{{\wurzel[3]{n^2+5}}^2+\wurzel[3]{(n^2+5)(n^2+3)}+{\wurzel[3]{n^2+3}}^2} [/mm] ist alles einfach.
Der Nenner ist positiv, der Zähler konstant. Dann Grenzübergang.
Das ist der schnellste Weg, soweit ich sehe. Es lohnt sich, [mm] \br{a^n-b^n}{a-b} [/mm] zu kennen. Und auch [mm] \br{a^n+b^n}{a+b} [/mm] für ungerade n...
Das braucht man echt häufig.
Grüße
reverend
> Kann ich hier so argumentieren:
> [mm](\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3}[/mm] ) [mm]\le (\wurzel[3]{n^3}-\wurzel[3]{n^3}[/mm]
> )=0 für n [mm]\ge[/mm] 3
> &
> [mm](\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3} )\ge (\wurzel[3]{n^2}-\wurzel[3]{n^2}[/mm]
> )=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Nach Sandwichlemma: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[3]{n^2+5}-\wurzel[3]{n^2+3}[/mm]
> ) =0
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> Geht das so?
> Wäre es auch anders möglich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 So 09.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Nabend reverend,
Sehr eleganter Ansatz!
Hier merke ich sofort, dass ich mich noch nie wirklich mit
der Faktorisierung von [mm] a^n-b^n [/mm] auseinandergesetzt habe.
In diesem Zusammenhang sollte ich mir wohl auch mal direkt
das Theorem von Fermat widmen. Zum Glück habe ich in abseh-
barer Zeit Semesterferien, ähh ich meine natürlich die
vorlesungsfreie Zeit, sodass ich bestimmt Zeit dafür finden werde. 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 So 09.02.2014 | | Autor: | reverend |
Guten Tag!
> Hier merke ich sofort, dass ich mich noch nie wirklich mit
> der Faktorisierung von [mm]a^n-b^n[/mm] auseinandergesetzt habe.
> In diesem Zusammenhang sollte ich mir wohl auch mal
> direkt
> das Theorem von Fermat widmen.
Das lass besser sein... Es ist ja gelöst, und schon ganze Hundertschaften von Hobbymathematikern und ziemlich viele Profis haben große Teile ihres Lebens darauf ver(sch)wendet. Vielleicht kennst Du die pragmatische Reaktion von C.F.Gauß auf dieses Theorem. Als man ihn dazu befragte, sagte er (so in etwa, aus dem Gedächtnis), es sei nicht schwer, eine Behauptung aufzustellen, die niemand beweisen könne, und bei der nichts gewonnen wäre, wenn man sie bewiese.
> Zum Glück habe ich in
> abseh-
> barer Zeit Semesterferien, ähh ich meine natürlich die
> vorlesungsfreie Zeit, sodass ich bestimmt Zeit dafür
> finden werde.
Plan dafür lieber mehr Zeit ein...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 09.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo
Danke für deine Idee. Ich habs jetzt mit dem L’Hospital berechnet! :)
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