Grenzwert berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir haben eine Verteilungsfunktion gegeben durch
[mm] F(x)=1-e^{-x^{\lambda}}, [/mm] x>0 und [mm] \lambda>0, \lambda \not= [/mm] 1.
Es soll folgendes bewiesen werden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F^{n}(g(log(n)^{\bruch{1}{\lambda}})x+log(n)^{\bruch{1}{\lambda}}) [/mm] = [mm] e^{-e^{-x}}
[/mm]
Dabei ist g eine beliebige messbare Funktion. |
Hallo Leute,
ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Rechenaufgaben helfen. Leider komme ich mit meiner Rechnung nicht richtig weiter.
Wir definieren [mm] a_{n}=log(n)^\bruch{1}{\lambda} [/mm] (damit es übersichtlicher wird).
[mm] F^{n}(g(a_{n})x+a_{n}) [/mm] = [mm] (1-e^{-(g(a_{n})x+a_{n})^{\lambda}})^{n} [/mm] = .......
Ich denke ich muss auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{e^{-x}}{n})^{n}=e^{-e^{-x}} [/mm] kommen. Mich stört dieses hoch [mm] \lambda. [/mm] Damit kann man doch leider nicht mit den Potenzgesetzen arbeiten, oder?
Könnt ihr mir helfen, wie ich die Funktion g wählen kann?
Danke für eure Antworten!
LG
|
|
| |
|
Bevor hier jemand antwortet, wäre es hilfreich, wenn du deine Formel noch einmal überprüfst. Allzu oft passiert es, daß sich jemand Gedanken macht, nur um hinterher gesagt zu bekommen, daß die Formel ja ganz anders gemeint ist. Konkret:
1. Bedeutet die Hochzahl [mm]n[/mm] bei [mm]F^n[/mm] eine Potenz, eine Verkettung oder die [mm]n[/mm]-te Ableitung?
2. Die Schreibweise [mm]\log(n)^{\frac{1}{\lambda}}[/mm] ist mehrdeutig. Ist [mm]\log \left( n^{\frac{1}{\lambda}} \right) = \frac{1}{\lambda} \cdot \log n}}[/mm] gemeint oder [mm]\left( \log n \right)^{\frac{1}{\lambda}}[/mm] ?
3. Aus welchem Grund ist eigentlich [mm]\lambda=1[/mm] ausgeschlossen? Bist du sicher, daß es [mm]x^{\lambda}[/mm] heißt und nicht etwa [mm]\lambda^x[/mm] ?
|
|
|
| |
|
Schonmal danke für deine Anwort.
>
> 1. Bedeutet die Hochzahl [mm]n[/mm] bei [mm]F^n[/mm] eine Potenz, eine
> Verkettung oder die [mm]n[/mm]-te Ableitung?
Damit ist die n-te Potenz gemeint. Es ist eine Aufgabe aus der Extremwerttheorie :)
>
> 2. Die Schreibweise [mm]\log(n)^{\frac{1}{\lambda}}[/mm] ist
> mehrdeutig. Ist [mm]\log \left( n^{\frac{1}{\lambda}} \right) = \frac{1}{\lambda} \cdot \log n}}[/mm]
> gemeint oder [mm]\left( \log n \right)^{\frac{1}{\lambda}}[/mm] ?
Es ist in dem Fall wirklich [mm] \left( \log n \right)^{\frac{1}{\lambda}} [/mm] gemeint.
>
> 3. Aus welchem Grund ist eigentlich [mm]\lambda=1[/mm]
> ausgeschlossen? Bist du sicher, daß es [mm]x^{\lambda}[/mm] heißt
> und nicht etwa [mm]\lambda^x[/mm] ?
Hier stimmt auch alles. [mm] \lambda \not= [/mm] 1 ist im Buch so definiert.
|
|
|
| |
|
Hallo,
wähle g=0, die Abbildung ist messbar.
Damit ist $ [mm] F^{n}(g(\log(n)^{\bruch{1}{\lambda}})x+\log(n)^{\bruch{1}{\lambda}}) [/mm] = [mm] F^n ((\log n)^\frac{1}{\lambda}) =(1-e^{-(\log (n) )^\frac{1}{\lambda}^\lambda})^n=(1-\frac{1}{n})^n \to e^{-1}$
[/mm]
Das liefert ein Gegenbeispiel zu der Behauptung.
Daher teile ich Leopold Skepsis bzgl. der Aufgabenstellung.
|
|
|
|
