Grenzwert berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Di 11.11.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-cos(k*x)}{x^2}
[/mm]
Das k im cosinus macht mir Probleme.
Ich hatte gedacht ich könnte folgendes machen:
für alle x 0 einsetzen. Dann hätte ich [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Das bedeutet, dass ich l'hospital anwenden kann. Nun würde ich die Ausgangsfunktion ableiten zu [mm] \bruch{sin(k*x)}{2x}. [/mm] Da dass wieder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ergibt, würde ich wieder l'hospital anwenden. Nun würde ich [mm] \bruch{cos(k*x)}{2} [/mm] bekommen, was aber falsch ist. Das Ergebnis soll [mm] \bruch{k^2}{2} [/mm] sein. Ich weiß aber nicht wie ich das k zu behandeln habe im cosinus. Ich bitte um Hilfe :)
Danke im Voraus
Jengo
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Hallo, Stichwort: innere Ableitung, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 11.11.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Steffi,
verstehe ich dich richtig, dass ich -cos(k*x) falsch abgelitten habe? Es müsste nach der Kettenregel abgeleitet werden oder? aber ist die innere ableitung nicht 1? weil das k fällt doch weg und das x wird zur 1 ? und -cos wird zu sin ? stehe da gerade ein wenig auf der leitung :(
danke für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Die Ableitungsregeln für multiplikative und additive Konstanten sind verschieden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Di 11.11.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hmm..ein letzter Versuch sonst muss ich morgen ausgeschlafen da noch mal ran:)
-cos(kx) wird zu k*sin(kx)
kann das angehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmm..ein letzter Versuch sonst muss ich morgen
> ausgeschlafen da noch mal ran:)
>
> -cos(kx) wird zu k*sin(kx)
>
> kann das angehen?
wurde schon beantwortet ( coole Art übrigens, so eine Frage zu formulieren  ).
Bei
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-\cos(k\cdot{}x)}{x^2} [/mm] $
folgt dann also
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-\cos(k\cdot{}x)}{x^2}=\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{0+k*\sin(k\cdot{}x)}{2x}\,,$
[/mm]
SOFERN denn der rechte Grenzwert auch existiert.
Dass er existiert, folgt dann wiederum mit
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{k*\sin(k\cdot{}x)}{2x}=\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{k^2*\cos(k\cdot{}x)}{2}$
[/mm]
unter Beachtung, dass linkerhand wieder der "Fall 0/0" steht, und wenn
man nachgewiesen hat/nachweisen kann, dass der Grenzwert rechterhand
auch existiert.
Wichtig ist immer, dass man beachtet, dass diese Voraussetzung "der Grenzwert
*rechterhand* existiert" bei l'Hôpital benötigt wird. Deswegen schreibe
ich das hier eigentlich auch nur, weil das einer der *typischsten
Stolperfallen* bei l'Hôpital ist! (Wenngleich auch nicht die einzige...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-cos(k*x)}{x^2}[/mm]
>
> Das k im cosinus macht mir Probleme.
>
> Ich hatte gedacht ich könnte folgendes machen:
>
> für alle x 0 einsetzen. Dann hätte ich [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
da musst Du auch ein wenig vorsichtig sein, was Du sagst. Hier darfst
Du mit "für alle x 0 einsetzen" argumentieren (es gibt übrigens nur ein x,
Du meinst, dass Du es an jeder Stelle durch 0 ersetzen willst!), weil im
Zähler und Nenner stetige Funktionen stehen.
Betrachte mal
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ 1, & \mbox{für } x \not=0 \end{cases}$
[/mm]
und
[mm] $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3}\,.$
[/mm]
Hier ist auch (formal)
[mm] $f(0)/0^3=0/0\,,$
[/mm]
und dennoch darf de l'Hôpital nicht angewendet werden.... Weil?
P.S. In [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] existiert
[mm] $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3}$ [/mm] nicht!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Beachtlich, dass Du l'Hospital kennst, wenn Du erst in die 9. Klasse Hauptschule gehst...
Dann kennst Du aber sicher auch Potenzreihen. Schreib die Potenzreihenentwicklung von cos(kx) auf. Berechne dann 1-cos(kx) und teile durch [mm] x^2. [/mm] Dann solltest Du sehen, dass der fragliche Limes = [mm] \bruch{k^2}{2} [/mm] ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mi 12.11.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo an alle :),
ich bin nun so vorgegangen dass ich die Ausgangsfunktion abgeleitet habe und bekomme :
[mm] \bruch{k*sin(K*x)}{2} [/mm] das ergibt wieder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] <- l'hôpital und somit noch mal ableiten. Ergibt:
[mm] \bruch{k*k*cos(k*x)}{2} [/mm] Da Cosinus(0) =1 ist ergibt sich im Zähler [mm] k^2
[/mm]
Somit ist das Ergebnis wie vorher ja schon erwähnt
[mm] \bruch{k^2}{2}
[/mm]
Bitte entschuldigt meine fehlerhafte Notation und mathematischen Ausdrücke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle :),
>
> ich bin nun so vorgegangen dass ich die Ausgangsfunktion
> abgeleitet habe und bekomme :
>
> [mm]\bruch{k*sin(K*x)}{2}[/mm]
Du meinst sicher [mm]\bruch{k*sin(k*x)}{2x}[/mm]
> das ergibt wieder [mm]\bruch{0}{0}[/mm] <-
> l'hôpital und somit noch mal ableiten. Ergibt:
>
> [mm]\bruch{k*k*cos(k*x)}{2}[/mm] Da Cosinus(0) =1 ist ergibt sich
> im Zähler [mm]k^2[/mm]
>
> Somit ist das Ergebnis wie vorher ja schon erwähnt
>
> [mm]\bruch{k^2}{2}[/mm]
So ist es.
FRED
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> Bitte entschuldigt meine fehlerhafte Notation und
> mathematischen Ausdrücke :)
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