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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 So 06.11.2016 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Untersuche ob [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] konvergent ist und gib allenfalls den Grenzwert an:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n + \wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n - \wurzel{n}} [/mm] |
Hallo Zusammen
Ich komme nicht mehr weiter. Ich forme an zuerst um. Soweit bin ich bis jetzt:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n + \wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n - \wurzel{n}} [/mm] | erweitern, wie sagt man diesem erweitern?
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (\wurzel{n + \wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n - \wurzel{n}}) [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2*\wurzel{n}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}
[/mm]
Jetzt würde ich gerne im Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern, dazu brauche ich eure Hilfe?
Besten Dank und Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 So 06.11.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Franhu!
> Untersuche ob [mm]a_{n}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] konvergent ist und gib
> allenfalls den Grenzwert an:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n + \wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n - \wurzel{n}}[/mm]
>
> Hallo Zusammen
>
> Ich komme nicht mehr weiter. Ich forme an zuerst um. Soweit
> bin ich bis jetzt:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n + \wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n - \wurzel{n}}[/mm] |
> erweitern, wie sagt man diesem erweitern?
Wir multiplizieren mit dem neutralen Element der Multiplikation.
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](\wurzel{n + \wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n - \wurzel{n}})[/mm]
> * [mm]\bruch{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}[/mm]
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2*\wurzel{n}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}[/mm]
>
> Jetzt würde ich gerne im Nenner [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammern,
Wir erinnern uns an
[mm] $n=\sqrt{n}*\sqrt{n}$.
[/mm]
und erhalten
[mm] $\sqrt{n+\sqrt{n}}=\sqrt{n\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\sqrt{n}*\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$,
[/mm]
sowie
[mm] $\sqrt{n-\sqrt{n}}=\sqrt{n}*\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}$.
[/mm]
Nun solltest du weiterkommen...
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Franhu |
Hallo DieAcht
Super, das hilft mir weiter!
Grüsse Franhu
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