Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1 + \bruch{1}{n} \right)^{n^2} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich hab leider kein Plan wie ich diesen Grenzwert berechnen soll. Kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Fr 02.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
diesen Grenzwert kannst du nur berechnen wenn du den Term entsprechend umschreibst.
Als allererstes macht man mal einen Funktionsterm draus, denn das ändert daran auch nichts, nur man kann damit gut weitermachen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n^{2}}=\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{x})^{x^{2}}
[/mm]
Nun umschreiben in:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{x})^{x^{2}}=e^{x^{2}ln(1+\bruch{1}{x})}
[/mm]
Nun muss man sich nur noch den Grenzwert im Exponenten berechnen und das ist einfacher.
Also:
Hierbei wird übrigens im zweiten Term die Regel von L´Hospital benötigt um den Zähler und den Nenner einzeln abzuleiten. Also im zweiten Term wird sie angewendet um den dritten Term zu erhalten.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{2}ln(1+\bruch{1}{x})=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(1+\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{-1}{x^{2}}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{x}}}{\bruch{-2}{x^{3}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{-1}{x^{2}+x}}{\bruch{-2}{x^{3}}}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-x^{3}}{-2x^{2}-2x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-x^{3}}{-2x^{3}(\bruch{x^{2}}{x^{3}}+\bruch{x}{x^{3}})}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2(\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^{2}})}=+\infty
[/mm]
Ich habe wie du siehst fast zum Schluss die höchste Potenz ausgeklammert, um den Grenzwert zu bestimmen.
Wie man auch sehen kann, gehen die Werte in den Klammern im letzten Term gegen 0 und somit auch der gesamte Nenner. Damit geht aber der ganze Term gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Daraus folgt also, das der "Exponent" der e-Funktion am Anfang gegen unendlich geht und damit geht aber auch [mm] e^{\infty} [/mm] gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Ich hoffe du kannst das so nachvollziehen.
Gruß,
clwoe
|
|
|
|
