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Forum "Funktionalanalysis" - Grenzwert berechnen
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Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Mo 13.07.2009
Autor: Aldiimwald

Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte


[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\cos(x))^{x^{-2}} [/mm]

Hallo,

ich habe hier eine Lösung vorliegen die leider mit meiner Berechnung nicht übereinstimmt.

1. Schritt: = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow0} ln(cos(x)*\bruch{1}{x^2})} [/mm] den habe ich genauso

2.Schritt (l'hospital): [mm] =e^{\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{cos(x)}*(-sinx)}{2x}} [/mm]

hier verstehe ich nicht ganz welche ableitungsregeln verwendet wurden, weil das für mich so aussieht als hätten die das [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ausserhalb des ln betrachtet

ich hoffe jemand von euch behält den durchblich auch wenn die Dormeln sehr klein dargestwllt werden

Gruß Aldiimwald

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Logarithmusgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mo 13.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Aldi!


Es muss im Exponenten (nach der 1. Umformung) heißen:
[mm] $$\ln\left[\left(\cos(x)\right)^{\bruch{1}{x^2}} \ \right]$$ [/mm]
Dies kann man gemäß MBLogarithmusgesetz umformen zu:
[mm] $$\bruch{1}{x^2}*\ln\left[\cos(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln\left[\cos(x)\right]}{x^2}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Mo 13.07.2009
Autor: Aldiimwald

also genau wie ich vermutet habe.

vielleicht ein übertragungsfehler.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: aha?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Mo 13.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Aldi!


??? [aeh] Der Term nach Anwendung von de l'Hospital ist doch korrekt in der Lösung angegeben.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mo 13.07.2009
Autor: Aldiimwald

nein, da schließt die klammer den bruch [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] in den ln mit ein.


aber was mir immernoch nicht so recht gefällt ist wie [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] weiter abgeleitet wurde ich hätte das zu [mm] \bruch{-2}{x^3} [/mm] abgeleitet?

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Zähler und Nenner für sich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Mo 13.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Aldi!


Sieh Dir de l'Hospital nochmal an. Du musst den Zähler und den Nenner jeweils für sich ableiten. Damit hast Du im Nenner dann die Ableitung von [mm] $x^2$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Mo 13.07.2009
Autor: Aldiimwald

outsch ja natürlich vielen Dank!!!



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