Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Sa 18.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} (\bruch{a^{x}+b^{x}}{2})^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
a,b >0 das sol limes x gegen null heissen |
man kann diesen bruch ja auch so schreiben
[mm] \bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}}}{2^{\bruch{1}{x}}}
[/mm]
a,b >0
dann würde da ja dann unendlich durch unendlich steht die regel von l'hopital gelten.
also dass die beiden Ableitungen jeweils den gleichen limes bilden.
leider kommt dann bei mir das hier raus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{x-1}{x}}*x*(a+b)^{x-1}}{2^{\bruch{1}{x}}}
[/mm]
und daraus weiss ich nicht was tun.
ich bin mir nichtmal sicher ob cih da die ableitungen richtig gebildet habe.
danke für korrekturvorschläge und hilfestellungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Sa 18.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Grenzwert
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} (\bruch{a^{x}+b^{x}}{2})^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> a,b >0 das sol limes x gegen null heissen
> man kann diesen bruch ja auch so schreiben
>
> [mm]\bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}}}{2^{\bruch{1}{x}}}[/mm]
> a,b >0
Hallo,
nimm o.B.d A. an, dass a>b gilt. Dann ist [mm] a^x+b^x=a^x(1+(\bruch{b}{a})^x).
[/mm]
Gruß Abakus
>
> dann würde da ja dann unendlich durch unendlich steht die
> regel von l'hopital gelten.
>
> also dass die beiden Ableitungen jeweils den gleichen limes
> bilden.
>
> leider kommt dann bei mir das hier raus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{x-1}{x}}*x*(a+b)^{x-1}}{2^{\bruch{1}{x}}}[/mm]
>
> und daraus weiss ich nicht was tun.
> ich bin mir nichtmal sicher ob cih da die ableitungen
> richtig gebildet habe.
>
> danke für korrekturvorschläge und hilfestellungen
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 18.07.2009 | | Autor: | katjap |
danke,
ich denke ich sehe es jetzt....
der Grenzwert ist doch dann für
[mm] a^{x}*[1+{\bruch{b}{a}}^{\bruch{1}{x}}] [/mm] epsilon für x gegen null, oder?
ich weiss jetzt nur nicht was ich mit der 2 machen soll, weil eigtl hiesse das doch [mm] 2^{\bruch{1}{x}} [/mm] und das wäre doch dann unendlich für x geg null...
oder hab ich jetzt was verwechselt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Sa 18.07.2009 | | Autor: | abakus |
> danke,
>
> ich denke ich sehe es jetzt....
> der Grenzwert ist doch dann für
>
> [mm]a^{x}*[1+{\bruch{b}{a}}^{\bruch{1}{x}}][/mm] epsilon für x
> gegen null, oder?
>
> ich weiss jetzt nur nicht was ich mit der 2 machen soll,
Die x-te Wurzel einer positiven Zahl geht gegen 1....
> weil eigtl hiesse das doch [mm]2^{\bruch{1}{x}}[/mm] und das wäre
> doch dann unendlich für x geg null...
>
> oder hab ich jetzt was verwechselt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wauwau |
nimm an, dass der Grenzwert existiert
und versuche den Logarithmus des Grenzwertes zu berechnen.
Dann kannst du viel einfacher de l'Hospital anwenden!!!
Lösung ist dann [mm] \wurzel(ab)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 18.07.2009 | | Autor: | katjap |
hm,
ich verstehe nicht was du meinst mit logarithmus auf den grenzwert berechnen, wenn ich den grenzwert ja nicht kenne (auf dme schlauch steh).
ich denke eben, dass der erste weg dann gelten würde, wenn die angewendete bedingung a>b gelten würde, da diese aber nciht angegeben ist, muss es auf einem anderen weg gehen.
es wäre nett wenn du mir diesen näher erklären würdest.
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> hm,
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> ich verstehe nicht was du meinst mit logarithmus auf den
> grenzwert berechnen, wenn ich den grenzwert ja nicht kenne
> (auf dme schlauch steh).
>
> ich denke eben, dass der erste weg dann gelten würde, wenn
> die angewendete bedingung a>b gelten würde, da diese aber
> nciht angegeben ist, muss es auf einem anderen weg gehen.
>
> es wäre nett wenn du mir diesen näher erklären würdest.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{a^{x}+b^{x}}{2})^{\bruch{1}{x}} [/mm] $ kannst du ja auch so schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{ln(\frac{a^x+b^x}{2})*\frac{1}{x}}
[/mm]
dann wegen der stetigkeit der e-funktion:
[mm] exp(\limes_{x\rightarrow 0}ln(\frac{a^x+b^x}{2})*\frac{1}{x}) [/mm] was ja einem [mm] "0*\infty" [/mm] entspricht, der ja einfach zu bewältigen ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hm,
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> ich verstehe nicht was du meinst mit logarithmus auf den
> grenzwert berechnen, wenn ich den grenzwert ja nicht kenne
> (auf dme schlauch steh).
>
> ich denke eben, dass der erste weg dann gelten würde, wenn
> die angewendete bedingung a>b gelten würde, da diese aber
> nciht angegeben ist, muss es auf einem anderen weg gehen.
dies kannst Du o.B.d.A. annehmen. Denn für [mm] $a=b\,$ [/mm] kannst Du [mm] $a^x+b^x=2a^x$ [/mm] schreiben und das benutzen, der Fall wird trivial. Wenn sowieso [mm] $a\,>b$ [/mm] gilt, ist nichts zu tun. Wenn $a < [mm] b\,$ [/mm] gelten würde, dann vertauschst Du einfach die Rollen von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] gegeneinander.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 18.07.2009 | | Autor: | katjap |
vielen dank für die vielen antworten und die möglichkeiten an diese aufgabe ranzugehen.
hat mir sehr weitergeholfen...
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:12 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > danke,
> >
> > ich denke ich sehe es jetzt....
> > der Grenzwert ist doch dann für
> >
> > [mm]a^{x}*[1+{\bruch{b}{a}}^{\bruch{1}{x}}][/mm] epsilon für x
> > gegen null, oder?
> >
> > ich weiss jetzt nur nicht was ich mit der 2 machen soll,
> Die x-te Wurzel einer positiven Zahl geht gegen 1....
hier wird aber nicht $x [mm] \to \infty,$ [/mm] sondern $x [mm] \to [/mm] 0$ betrachtet. Dann stimmt das natürlich nicht - das hast Du vll. bei Deiner Vorgehensweise übersehen?!
Gruß,
Marcel
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