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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert berechnen
Grenzwert berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert berechnen: Welchen GW hat diese Folge?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:56 Fr 29.04.2005
Autor: neuling_hier

Hallöchen, kann mir bitte jemand zeigen, wie ich den Grenzwert zu der komplexen Zahlenfolge [mm] (a_n) [/mm] berechne, mit:

  [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{ (3 + 3i)^{n + 1} + 4^n }{ 4 * (3 + 3i)^{n} + 7 } [/mm]

Sicherlich machbar, aber bei mir hakt's irgendwie.

Ein kleiner Auszug meiner Überlegungen:

Mein Gedanke war das Ausmultiplizieren von (3 + [mm] 3i)^n [/mm] in Zähler und Nenner und anschließendes Wegkürzen. Das ergibt:

  [mm] a_n [/mm] =  [mm] \bruch{ (3 + 3i) + \bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}} }{ 4 + 7 * \bruch{1}{(3 + 3i)^{n}} } [/mm]

Es geht [mm] \bruch{7}{(3 + 3i)^{n}} [/mm] gegen 0, da insbesondere |(3 + 3i)| > 0 ist. Aber was mache ich mit [mm] \bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}} [/mm] ??

Schonmal vielen lieben Dank für eine Korrektur bzw. klärende Antwort!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Fr 29.04.2005
Autor: Christian

Hallo!

Erstmal [willkommenmr]!

> Hallöchen, kann mir bitte jemand zeigen, wie ich den
> Grenzwert zu der komplexen Zahlenfolge [mm](a_n)[/mm] berechne,
> mit:
>  
> [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{ (3 + 3i)^{n + 1} + 4^n }{ 4 * (3 + 3i)^{n} + 7 }[/mm]
>  
> Sicherlich machbar, aber bei mir hakt's irgendwie.
>  
> Ein kleiner Auszug meiner Überlegungen:
>  
> Mein Gedanke war das Ausmultiplizieren von (3 + [mm]3i)^n[/mm] in
> Zähler und Nenner und anschließendes Wegkürzen. Das
> ergibt:
>  
> [mm]a_n[/mm] =  [mm]\bruch{ (3 + 3i) + \bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}} }{ 4 + 7 * \bruch{1}{(3 + 3i)^{n}} }[/mm]
>  
> Es geht [mm]\bruch{7}{(3 + 3i)^{n}}[/mm] gegen 0, da insbesondere
> |(3 + 3i)| > 0 ist. Aber was mache ich mit [mm]\bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}}[/mm]
> ??

Wie Du richtig gesagt hast, geht [mm] $\frac{7}{(3+3i)^n}$ [/mm] gegen 0, allerdings ist die Begründung falsch, oder Du hast dich vertippt...
denn [mm] $|3i+3|=3\wurzel{2}\approx4.24>1$. [/mm]
Es reicht nämlich nicht allein, daß $|3+3i|>0$ ist, wäre es nämlich zwischen 0 und 1, so würde das ganze gegen 0 konvergieren, und Du bekämst für den Bruch [mm] $\frac{7}{(3+3i)^n}$ [/mm] keinen endlichen Grenzwert.
Die Eigenschaft, die uns jetzt hier im schlimmsten Falle zu schaffen gemacht hätte, kommt uns jetzt beim Zähler zugute, denn dort können wir dann auch schreiben: [mm] $|\frac{4^n}{(3+3i)^n}|=(\frac{|4|}{|3+3i|})^n\approx(\frac{4}{4.24})^n$ [/mm]
Da die Basis hier vom Betrag kleiner als 1 ist, geht der Term auch gegen 0 für n gegen unendlich.
Kommst Du nun alleine auf den Grenzwert?

Gruß,
Christian

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Fr 29.04.2005
Autor: neuling_hier

Super, vielen Dank für die blitzschnelle Antwort, Christian! :-)

Ja, die 0 war ein Tippfehler. Wenn q komplexe Zahl, divergiert [mm] q^{n} [/mm] , falls |q| > 1 (und geht gegen 0, falls |q| < 1).

Der Knackpunkt bzw. Trick, auf den ich nicht gekommen bin, war das Anwenden der Betragsfunktion insbesondere auf 4. Tolle Sache, ich hab's jetzt kapiert! :-) Der Grenzwert sollte also [mm] (\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}i) [/mm] sein (und ich bete, daß das jetzt nicht falsch war...!)

Danke nochmal!!

Bezug
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