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| Aufgabe | Berechne den Grenzwert für x gegen unendlich, falls:
a) [mm] a_n=\bruch{n^2}{n+1}-\bruch{n^3}{n^2+1}
[/mm]
b) [mm] a_n=\bruch{2^n+3^{-n}}{2^{-n}-3^n}
[/mm]
c) [mm] a_n=\bruch{\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-1}}{\wurzel{n^2+n-n-1}} [/mm] |
hallo,
ich weiß bereits, dass ich zunächst alle Folgen vereinfachen muss.
Für a) bräuchte ich einen gemeinsamen Nenner, um alles auf einen Bruchstrich schreiben zu können. Wie kann ich den gemeinsamen Nennet [mm] n^2+1 [/mm] kommen?
Bei b) stören mich die ^n. Wie kann ich das vereinfachen?
Bei c) muss was mit den Wurzeln passieren. Aber was?
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Hallo missjanine,
hier hätte ich mal einen Vorschlag für Deine Aufgabe a)
Um diesen Term auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen musst du folgendes tun. Hier mal die allgemeine Formel : [mm] \bruch{a}{b} [/mm] - [mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{(a*d)-(c*b)}{b*d}:
[/mm]
Hier in Deinem Fall: [mm] \bruch{n^{2}*(n^{2}+1) - n^{3}*(n+1)}{(n+1)*(n^{2}+1)}
[/mm]
Viel Spaß
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Wenn ich jetzt alle Klammern ausmultipliziere, komm ich auf [mm] \bruch{n^4+n^2-n^4-n^3}{n^3+n+n^2+1}
[/mm]
In der Hoffnung, dass ich alles richtig gemacht hab. [mm] n^4-n^4 [/mm] fällt dann im Zähler raus. Und [mm] n^2 [/mm] lässt sich kürzen.
Dann erhalte ich [mm] \bruch{1-n^3}{n^3+n+2}. [/mm] Kann ich [mm] n^3 [/mm] auch kürzen? Dann hätte ich (1-1)/(3+n), also 0/3+n?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 22.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Ausgeklammert siehts so aus:
[mm] \bruch{(n^{3}*(\bruch{1}{n^{1}}-1)}{n^{3}*(1+\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{3}}}
[/mm]
jetzt wie loddar gesagt hat, die [mm] n^{3} [/mm] wegkürzen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Do 22.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Nun, wenn [mm] n^{3} [/mm] weg ist, dann einfach mal prüfen, was passiert, wenn [mm] n\to\infty [/mm] geht... du wirst sehen, die Lösung ist ganz einfach :D
Hoffe das hat geholfen!!!
Gruß
Onkel-Di
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Das ausklammern hast du wunderbar gemacht. Nur verstanden hab ichs noch nicht. Wie kann [mm] 1/n^3 [/mm] noch im Nenner sein? Das sollte doch ausgeklammert werden.
Wenn ich nun unendlich für n einsetze, komm ich darauf, dass der Grenzwert -1 ist.
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Guten Morgen,
> Das ausklammern hast du wunderbar gemacht. Nur verstanden
> hab ichs noch nicht. Wie kann [mm]1/n^3[/mm] noch im Nenner sein?
> Das sollte doch ausgeklammert werden.
Multipliziere doch mal den Nenner mit [mm] n^3. [/mm] Dann sieht man, dass genau der ursprüngliche Nenner herauskommt.
Die [mm] 1/n^3 [/mm] rührt von der Tatsache, dass [mm] 1=n^3*(1/n^3) [/mm] ist.
> Wenn ich nun unendlich für n einsetze,
unendlich wird nicht eingesetzt, sondern man lässt n gegen unendlich laufen.
> komm ich darauf,
> dass der Grenzwert -1 ist.
Stimmt.
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Hallo missjanine,
> Berechne den Grenzwert für x gegen unendlich, falls:
> a) [mm]a_n=\bruch{n^2}{n+1}-\bruch{n^3}{n^2+1}[/mm]
> b) [mm]a_n=\bruch{2^n+3^{-n}}{2^{-n}-3^n}[/mm]
> c)
> [mm]a_n=\bruch{\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-1}}{\wurzel{n^2+n-n-1}}[/mm]
> hallo,
>
> ich weiß bereits, dass ich zunächst alle Folgen
> vereinfachen muss.
Weißt Du auch schon, dass Du in diesem Forum eigene Ansätze präsentieren sollst? Wenn nicht, lies mal die Forenregeln.
> Für a) bräuchte ich einen gemeinsamen Nenner, um alles
> auf einen Bruchstrich schreiben zu können. Wie kann ich
> den gemeinsamen Nennet [mm]n^2+1[/mm] kommen?
Gar nicht. Lies die Antwort von Onkel-Di.
> Bei b) stören mich die ^n. Wie kann ich das
> vereinfachen?
Gar nicht. Du brauchst hier Potenzgesetze.
> Bei c) muss was mit den Wurzeln passieren. Aber was?
Stimmt denn die im Nenner? Wozu steht da "+n-n"?
Ansonsten könntest Du im Zähler und Nenner mal n ausklammern.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mi 21.11.2012 | | Autor: | missjanine |
Der Nenner bei c) ist nicht ganz korrekt.
Er muss lauten [mm] \wurzel{n^2+n}-n-1
[/mm]
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Wie fang ich denn nun bei Aufgabe c an? ich steh aufm Schlauch!
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Hallo nochmal,
> Wie fang ich denn nun bei Aufgabe c an? ich steh aufm
> Schlauch!
Klammer doch mal aus allen Wurzeln n aus.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:46 Do 22.11.2012 | | Autor: | missjanine |
Ich hoffe ich habs richtig gemacht:
[mm] \bruch{n\wurzel{n+\bruch{1}{n}}-n\wurzel{n-\bruch{1}{n}}}{n\wurzel{n+1}-n-1}
[/mm]
Lass ich dann n gegen unendlich laufen, hab ich:
[mm] \bruch{\infty\wurzel{\infty+\bruch{1}{\infty}}-\infty\wurzel{\infty-\bruch{1}{\infty}}}{\infty\wurzel{\infty+1}-\infty-1}
[/mm]
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> Ist das so nun richtig?
hallo,
leider nicht. es ist z.b. [mm] \sqrt{n^2+n}=\sqrt{n^2*(1+\frac{1}{n})}=\sqrt{n^2}*\sqrt{1+\frac{1}{n}}=n*\sqrt{1+\frac{1}{n}} [/mm] (für positive n)
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So, dann noch mal ein Versuch zum ausklammern 
[mm] \bruch{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}}-n*\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}}}{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-n-1}
[/mm]
Dann hab ich doch nur noch das dort stehen:
[mm] \bruch{\infty*\wurzel{1+\bruch{1}{\infty^2}}-\infty*\wurzel{1-\bruch{1}{\infty^2}}}{\infty*\wurzel{1+\bruch{1}{\infty}}-\infty-1}
[/mm]
Nun gegen unendlich laufen lassen:
[mm] \bruch{\infty*\wurzel{1}-\infty*\wurzel{1}}{\infty*\wurzel{1}-\infty-1}
[/mm]
Dann hab ich letztlich nur noch das:
[mm] \bruch{\infty-\infty}{\infty-\infty}
[/mm]
Aber was wäre dann [mm] \infty-\infty=\infty?
[/mm]
Und [mm] \bruch{\infty}{\infty}=1 [/mm] oder unendlich?
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Hallo missjanine,
nein, so klappt das noch nicht. Der wesentliche Schritt fehlt noch, nämlich: n kürzen!
> So, dann noch mal ein Versuch zum ausklammern
>
> [mm]\bruch{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}}-n*\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}}}{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-n-1}[/mm]
So ist es gut.
> Dann hab ich doch nur noch das dort stehen:
>
> [mm]\bruch{\infty*\wurzel{1+\bruch{1}{\infty^2}}-\infty*\wurzel{1-\bruch{1}{\infty^2}}}{\infty*\wurzel{1+\bruch{1}{\infty}}-\infty-1}[/mm]
Hier geht es in die falsche Richtung.
> Nun gegen unendlich laufen lassen:
>
> [mm]\bruch{\infty*\wurzel{1}-\infty*\wurzel{1}}{\infty*\wurzel{1}-\infty-1}[/mm]
>
> Dann hab ich letztlich nur noch das:
>
> [mm]\bruch{\infty-\infty}{\infty-\infty}[/mm]
>
> Aber was wäre dann [mm]\infty-\infty=\infty?[/mm]
> Und [mm]\bruch{\infty}{\infty}=1[/mm] oder unendlich?
Das ist schlicht nicht definiert. Darüber ist keine Aussage möglich.
Fangen wir nochmal hier an:
[mm]\bruch{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}}-n*\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}}}{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-n-1}=\cdots[/mm]
Jetzt kürze ich den Faktor n heraus:
[mm]\cdots=\bruch{\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}}-\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1-\bruch{1}{n}}[/mm]
Hm. Tut mir leid, das habe ich falsch gesehen.
Das hilft ja immer noch nicht weiter. Zähler und Nenner laufen jetzt beide gegen Null.
Das muss ich doch mal auf Papier vor mir haben. Moment.
***
So. Das ist ja wirklich eine unangenehme Aufgabe.
Ich sehe gerade nur den folgenden Weg, aber der geht wenigstens auf.
Wir erweitern den ganzen Bruch gleich zweimal, einmal wegen des Zählers mit [mm] (\wurzel{n^2+1}\blue{+}\wurzel{n^2-1}) [/mm] und einmal wegen des Nenners mit [mm] (\wurzel{n^2+n}\blue{+}n\blue{+}1). [/mm] Das wird zwischendurch also ein ziemliches Formelgetöse, fällt aber glücklicherweise schnell wieder auf ein übersichtliches Maß zusammen, weil die dritte binomische Formel zuschlägt:
[mm] \bruch{(\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-1})}{(\wurzel{n^2+n}-n-1)}*\bruch{(\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-1})}{(\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-1})}*\bruch{(\wurzel{n^2+n}+n+1)}{(\wurzel{n^2+n}+n+1)}=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{(n^2+1-(n^2-1))}{(n^2+n-(n+1)^2)}*\bruch{n\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1+\bruch{1}{n}\right)}{n\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}}+\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}}\right)}=\cdots
[/mm]
Hier ist im Zähler und Nenner jeweils die 3. bin.Formel angewandt und im verbleibenden Faktor ein n ausgeklammert, das kennst Du ja von oben. Jetzt noch zusammenfassen und das ausgeklammerte n kürzen:
[mm] \cdots=\bruch{2}{(-n-1)}*\bruch{\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1+\bruch{1}{n}\right)}{\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}}+\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}}\right)}
[/mm]
So, jetzt kannst Du den Grenzwert sauber angehen.
Im rechten Bruch läuft der Zähler gegen 2, der Nenner auch. Im linken Bruch ist der Zähler ja konstant 2, dafür wächst der Nenner über alle Maßen ins negativ Unendliche.
Das Ganze geht also gegen Null. Man erkennt sogar, dass sich für wachsendes n der Wert des Bruches "von unten" der Null nähert.
Also noch einmal Pardon für die falsche Fährte, aber Teile davon kommen ja nun auch in dieser Lösung vor.
Schau mal, ob Du das so nachvollziehen kannst.
Grüße
reverend
PS: Falls ich diese Antwort noch nachbearbeite, dann nur, weil ich mich in irgendeiner Formel vertippt habe. Es ist schon ein bisschen unübersichtlich...
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Hast Du dir den Term mal grafisch angeschaut?
Also wenn ja, dann siehst Du , dass dieser Term gegen Null geht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=0[/mm]
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Dann bekommen ich [mm] 2^n-n, [/mm] also [mm] 2^0=1
[/mm]
Und was mach ich bei den Basen 3 und -3 ?
Hab ich da dann -3^-n-n stehen oder heben sich diese auf und dann steht da 0^-n-n?
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Hallo nochmal,
> Dann bekommen ich [mm]2^n-n,[/mm] also [mm]2^0=1[/mm]
Bahnhof? Oder eher Gartenzaun? Sonst kann ich mir gerade nichts unter dieser Aussage vorstellen.
> Und was mach ich bei den Basen 3 und -3 ?
Wo gibts denn die Basis -3?
> Hab ich da dann -3^-n-n stehen oder heben sich diese auf
> und dann steht da 0^-n-n?
Nein. Nein. Definitiv nein. Was tust Du da, bitte?
Vielleicht wendest Du einfach mal [mm] a^{-n}=\bruch{1}{a^n} [/mm] an. Das könnte helfen.
Grüße
reverend
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Noch n Tipp:
Vielleicht bringt es Dich weiter es mal so aufzuschreiben:
[mm] \bruch{2^{n}}{2^{-n}-3^{n}} [/mm] - [mm] \bruch {3^{-n}}{2^{-n}-3^{n}}
[/mm]
so und jetzt mal Potenzgesetze anwenden... z.B. das mit der gleichen Basis und versch. Exponenten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Do 22.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Also ich rechne mal:
Nach den Potenzgesetzen:
[mm] 2^{n-n} [/mm] - [mm] (\bruch{2}{3})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{3}{2})^{-n} [/mm] - [mm] 3^{n-n}
[/mm]
1 - [mm] (\bruch{(2*3) -(3*3)}{2*3})^{n-n} [/mm]
1-1 = 0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Do 22.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Onkel-Di,
> Nach den Potenzgesetzen:
>
> [mm]2^{n-n}[/mm] - [mm](\bruch{2}{3})^{n}[/mm] - [mm](\bruch{3}{2})^{-n}[/mm] - [mm]3^{n-n}[/mm]
>
> 1 - [mm](\bruch{(2*3) -(3*3)}{2*3})^{n-n}[/mm]
>
> 1-1 = 0
Gibt es diese Potenzgesetze auch irgendwo öffentlich zugänglich?
Die üblichen und leicht zu beweisenden sind es ja nicht. :-(
Grüße
reverend
PS: Eine sinnvolle Zusammenfassung wäre: Unsinn.
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