Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Habe mehrere Beispiele vom folgendem typ zu lösen:
[mm] \bruch{z^m-1}{z^n-1} [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] \ {1} und z [mm] \to [/mm] 1
wenn mir jemand zeigen könnte wie man sowas angeht wäre ich sehr dankbar.
Nur zur info del'Hospital haben wir noch nicht gemacht..
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Sa 05.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Habe mehrere Beispiele vom folgendem typ zu lösen:
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> [mm]\bruch{z^m-1}{z^n-1}[/mm] z [mm]\in \IC[/mm] \ {1} und z [mm]\to[/mm] 1
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> wenn mir jemand zeigen könnte wie man sowas angeht wäre
> ich sehr dankbar.
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> Nur zur info del'Hospital haben wir noch nicht gemacht..
>
> lg
Hallo,
es ist [mm] $z^m-1=(1+z+z^2+...+z^{m-1})(z-1)$ [/mm] (siehe Summenformel der geometrischen Reihe).
Auf diese Weise kannst du Zähler und Nenner umschreiben, wobei sich dann (z-1) kürzt. Dann kannst du z getrost gegen 1 gehen lassen...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 So 06.01.2013 | | Autor: | nero08 |
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> > Hallo!
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> > Habe mehrere Beispiele vom folgendem typ zu lösen:
> >
> > [mm]\bruch{z^m-1}{z^n-1}[/mm] z [mm]\in \IC[/mm] \ {1} und z [mm]\to[/mm] 1
> >
> > wenn mir jemand zeigen könnte wie man sowas angeht wäre
> > ich sehr dankbar.
> >
> > Nur zur info del'Hospital haben wir noch nicht gemacht..
> >
> > lg
> Hallo,
hi!
> es ist [mm]z^m-1=(1+z+z^2+...+z^{m-1})(z-1)[/mm] (siehe
> Summenformel der geometrischen Reihe).
> Auf diese Weise kannst du Zähler und Nenner umschreiben,
> wobei sich dann (z-1) kürzt. Dann kannst du z getrost
> gegen 1 gehen lassen...
also hätte ich dann sowas in der art:
[mm] \bruch{1+z+z^2+...+z^{m-1}}{1+z+z^2+...+z^{n-1}}
[/mm]
ich hab jetzt zwar keine sorgen mehr, wenn z-> 1 geht, aber den genauen grenzwert bekomme ich ja nicht?
lg
> Gruß Abakus
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 So 06.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nero08!
> also hätte ich dann sowas in der art:
> [mm]\bruch{1+z+z^2+...+z^{m-1}}{1+z+z^2+...+z^{n-1}}[/mm]
>
> ich hab jetzt zwar keine sorgen mehr, wenn z-> 1 geht, aber
> den genauen grenzwert bekomme ich ja nicht?
Doch:
[mm]\lim_{z\to 1}\frac{1+z+z^2+\ldots +z^{m-1}}{1+z+z^2+\ldots +z^{n-1}}=\frac{1+\overbrace{1+1+\ldots +1}^{(m-1)\text{-mal}}}{1+\underbrace{1+1+\ldots +1}_{(n-1)\text{-mal}}}=\frac mn[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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