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Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}
[/mm]
Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Exponenten vereinfachen soll? Das verwirrt mich...
Der Nenner geht doch so:
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{2*n}}
[/mm]
Oder?
Aber der Zähler?!
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Hallo SturmGhost,
Du missachtest eine Notationskonvention.
> Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}[/mm]
Auf den ersten Blick: 1. Aber erst mal sehen, ob das stimmt und wie man es zeigen kann.
> Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Exponenten
> vereinfachen soll? Das verwirrt mich...
>
> Der Nenner geht doch so:
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{2*n}}[/mm]
>
> Oder?
Nein, bestimmt nicht. [mm] (n^2+4)^{2^n}=(n^2+4)^{(2^n)}\not=((n^2+4)^2)^n
[/mm]
> Aber der Zähler?!
[mm] \bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}=\bruch{(n^2-4)*(n^2)^{n^2-1}}{(n^2+4)*(n^2+4)^{n^2-1}}=\left(1-\bruch{8}{n^2+4}\right)*\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2-1}>\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2}
[/mm]
Wenn Du jetzt mal [mm] k:=n^2 [/mm] setzt, siehst Du vielleicht mehr.
Tipp (wenn auch kein einfacher): e-Funktion.
Grüße
reverend
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> Hallo SturmGhost,
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> Du missachtest eine Notationskonvention.
>
> > Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}[/mm]
>
> Auf den ersten Blick: 1. Aber erst mal sehen, ob das stimmt
> und wie man es zeigen kann.
Wie auch immer du das sofort gesehen hast...?!
>
> > Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Exponenten
> > vereinfachen soll? Das verwirrt mich...
> >
> > Der Nenner geht doch so:
> >
> > [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{2*n}}[/mm]
>
> >
> > Oder?
>
> Nein, bestimmt nicht.
> [mm](n^2+4)^{2^n}=(n^2+4)^{(2^n)}\not=((n^2+4)^2)^n[/mm]
>
Okay, du hast recht.
> > Aber der Zähler?!
>
> [mm]\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}=\bruch{(n^2-4)*(n^2)^{n^2-1}}{(n^2+4)*(n^2+4)^{n^2-1}}=\left(1-\bruch{8}{n^2+4}\right)*\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2-1}>\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2}[/mm]
>
Ich verstehe schon die erste Umformung nicht. Wieso kannst du im Zähler auf einmal eine Klammer setzen und dann wird aus -2 dann -1?
Was hast du da im Nenner getan?
> Wenn Du jetzt mal [mm]k:=n^2[/mm] setzt, siehst Du vielleicht mehr.
>
> Tipp (wenn auch kein einfacher): e-Funktion.
>
Meinst du [mm] (\bruch{n+1}{n})^n=e?
[/mm]
> Grüße
> reverend
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> > Hallo SturmGhost,
> >
> >
> [mm]\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}=\bruch{(n^2-4)*(n^2)^{n^2-1}}{(n^2+4)*(n^2+4)^{n^2-1}}=\left(1-\bruch{8}{n^2+4}\right)*\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2-1}>\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2}[/mm]
> >
>
>
> Ich verstehe schon die erste Umformung nicht. Wieso kannst
> du im Zähler auf einmal eine Klammer setzen und dann wird
> aus -2 dann -1?
>
> Was hast du da im Nenner getan?
das sind elementare Potenzregeln.
[mm] $x^{a\cdot b}=(x^a)^b$
[/mm]
Im Nenner dassselbe:
[mm] $a^x=a\cdot a^{x-1}=a\cdot a\cdot a^{x-2}.....$
[/mm]
> > Wenn Du jetzt mal [mm]k:=n^2[/mm] setzt, siehst Du vielleicht mehr.
> >
> > Tipp (wenn auch kein einfacher): e-Funktion.
> >
Versuche es einfach mal mit Reverends Tipp auf eine Lösung zu kommen. Ja, die Darstellung ist gemeint.
Ihr habt dazu bestimmt ähnliche Aufgaben in den Übungen behandelt.
Valerie
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