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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 So 08.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x*ln(\bruch{2}{x}+1) [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage zur o.g. Aufgabe.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x*ln(\bruch{2}{x}+1)
[/mm]
Ich habe zunächst ja die Situation, dass da steht [mm] \infty [/mm] * 0
Daher kann ich den Term doch so umschreiben: [mm] \bruch{ln(\bruch{2}{x})+1}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Nun bin ich mir aber unsicher, wie es weitergeht - denn jetzt steht doch nach dem Einsetzen dort [mm] \bruch{1}{0}.
[/mm]
Ist die Voraussetzung zur Anwendung der Regeln nach l´Hopital denn schon mit der Umschreibung des Terms gegeben, oder erst wenn wirklich da [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] steht?
Wenn man die Regeln nach l´Hopital anwenden kann, dann kann ich doch getrennt voneinander Ableiten und schreiben [mm] \bruch{\bruch{-1}{x}}{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
> Berechnen Sie den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x*ln(\bruch{2}{x}+1)[/mm]
> Hallo,
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> ich habe eine Verständnisfrage zur o.g. Aufgabe.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x*ln(\bruch{2}{x}+1)[/mm]
>
> Ich habe zunächst ja die Situation, dass da steht [mm]\infty[/mm] *
> 0
>
> Daher kann ich den Term doch so umschreiben:
> [mm]\bruch{ln(\bruch{2}{x})+1}{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> Nun bin ich mir aber unsicher, wie es weitergeht - denn
> jetzt steht doch nach dem Einsetzen dort [mm]\bruch{1}{0}.[/mm]
>
Erst Rechnen, dann Tippen. Dein Ansatz ist richtig und führt auf
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left ( x*ln\left (\frac{2}{x}+1 \right ) \right )= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{ln\left ( \frac{2}{x}+1 \right )}{\frac{1}{x}}[/mm]
Und das führt offensichtlich auf den Fall 0/0, also ist die Voraussetzung zur Anwendung der l'Hospitalschen Regel gegeben.
> Ist die Voraussetzung zur Anwendung der Regeln nach
> l´Hopital denn schon mit der Umschreibung des Terms
> gegeben, oder erst wenn wirklich da [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] steht?
>
Genau in diesen Fällen ist sie anwendbar, und das ganze Malheur war wohl ein Tippfehler (den du bemerken musst, wenn du so etwas zunächst von Hand rechnest).
Gruß, Diophant
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Hiho,
> Berechnen Sie den Grenzwert:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x*ln(\bruch{2}{x}+1)[/mm]
das geübte Auge erkennt, dass man den Ausdruck auch sehr schön ohne L'Hospital lösen kann:
[mm] $x*ln(\bruch{2}{x}+1) [/mm] = [mm] \frac{\ln\left(2*\bruch{1}{x} + 1\right)}{\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \frac{\ln\left(2*\bruch{1}{x} + 1\right) - \ln\left(2*0 + 1\right) }{\frac{1}{x} - 0} [/mm] = [mm] \frac{f\left(\bruch{1}{x}\right) - f(0)}{\frac{1}{x} - 0} [/mm] = [mm] f'(\xi)$
[/mm]
für $f(x) = [mm] \ln\left(2*x + 1\right)$ [/mm] und ein [mm] $\xi \in \left(0,\frac{1}{x}\right)$ [/mm] nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Die erste Gleichung hast du ja selbst sehr schön erkannt, die zweite ergänzt einfach nur oben und unten Nullen, so dass man den MWS erkennt und nutzen kann.
Man erkennt nun, dass für [mm] $x\to \infty$ [/mm] sofort [mm] $\xi \to [/mm] 0$ folgt und $f'(x) = [mm] \frac{2}{2x+1}$ [/mm] gilt.
Damit folgt also:
[mm] $\lim_{x\to\infty}x*ln(\bruch{2}{x}+1) [/mm] = [mm] \lim_{\xi \to 0}\frac{2}{2\xi+1}$ [/mm] und den letzten Grenzwert kannst du sehr einfach ausrechnen 
Gruß,
Gono
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