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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Aufgabe
Man bestimme folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} =\bruch{e^x - e^{-x}}{ln(e-x)+x-1} [/mm]

Guten Abend,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei so einer Aufgabe am Besten herrangehe?
Ich hab mal für das x = 0 eingesetzt und festgestellt, das der Zähler ungefähr das doppelte vom Nenner ist....

Viele Grüße



        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mo 15.02.2010
Autor: kalkulator


> Man bestimme folgenden Grenzwert:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow0} =\bruch{e^x - e^{-x}}{ln(e-x)+x-1}[/mm]
>  
> Guten Abend,
>  kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei so einer
> Aufgabe am Besten herrangehe?
>  Ich hab mal für das x = 0 eingesetzt und festgestellt,
> das der Zähler ungefähr das doppelte vom Nenner ist....
>  

Hallo, guten Abend.
Ich kann das nicht bestätigen, dass für $x=0$ der Zähler doppelt so groß ist wie der Nenner. Rechne nochmal genau nach, was für $x=0$ rauskommt. Danach kommst Du mit den Regeln nach l'hopital weiter.

viele Grüße, Andreas


>  
>  


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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Andreas,

Danke für deine Antwort!

Nicht, dass ich mich jetzt wieder verrechnet habe, wenn ich x=0 setze bekomm ich 0 raus, hoffe ich hab mich nicht wieder verrechnet. Zähler: 1-1
Nenner: ln(1)-1 = -1
[mm] \bruch{0}{-1} [/mm]

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Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 15.02.2010
Autor: XPatrickX

Hallo,

es gilt doch [mm] \ln(e)=1. [/mm]

Gruß Patrick

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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Patrick,

ah, okay, hatte ich doch glatt vergessen. Dann also [mm] \bruch{0}{0} [/mm]

Und dann diese Formel anwenden?

[mm] \limes_{x\rightarrow a}=\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f'(a)}{g'(a)} [/mm]

Bezug
                                        
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Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mo 15.02.2010
Autor: M.Rex


> Hallo Patrick,
>  
> ah, okay, hatte ich doch glatt vergessen. Dann also
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm]

Ja, und das schreit geradezu nach der Anwendung der MBLHospitalscheRegeln

>  
> Und dann diese Formel anwenden?
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}=\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f'(a)}{g'(a)}[/mm]

Das ist so falsch, du meinst wahrscheinlich:

[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]

Marius

>  


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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Ich habs nun mal durchgerechnet.

f(x) = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm]
f(0) = 0
g(x) = ln(e-x)+x-1
g(0) = 0

f'(x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm]
f'(0) = 0

g'(x) = [mm] \bruch{1}{x}(e-1) [/mm]

g'(0) = [mm] \bruch{1}{x // Oder hier 0?}(e-1) [/mm]


Bezug
                                                        
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Grenzwert bestimmen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 19:33 Mo 15.02.2010
Autor: Stefan-auchLotti


> Ich habs nun mal durchgerechnet.
>  

Hi!

> f(x) = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^{-x}[/mm]
>  f(0) = 0
>  g(x) = ln(e-x)+x-1
>  g(0) = 0
>  
> f'(x) = [mm]e^x[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm]
>  f'(0) = 0
>

[ok]

> g'(x) = [mm]\bruch{1}{x}(e-1)[/mm]
>  
> g'(0) = [mm]\bruch{1}{x // Oder hier 0?}(e-1)[/mm]
>  

[notok]

Nach welchen Regeln hast du hier abgeleitet? Du musst hier mit der Kettenregel ran!

Grüße, Stefan.

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Stefan,

ähm ja, ich hab ln einfach alleine Abgeleitet. Wie leite ich aber dieses hier ab mit der Kettenregel? ln(e-x)+x-1

[mm] h'(x)\cdot{}g'(h(x)) [/mm]

ist ln = h'(x) ?

Oder wie muss ich den Term betrachten?

Bezug
                                                                        
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Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mo 15.02.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast.

[mm] g(x)=\green{\ln(x-e)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm]
Also:
[mm] g'(x)=\green{\bruch{1}{x-e}*(-e)}\red{+}\blue{1}\red{+}\color{yellow}{0} [/mm]
[mm] =\bruch{-e}{x-e}+1 [/mm]

Also [mm] g'(0)=\ldots [/mm]

Marius

Bezug
                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Kannst du mir das mal genauer zeigen wie du drauf kommst?

$ [mm] g(x)=\green{\ln(x-e)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm] $

$ [mm] g'(x)=\green{\bruch{1}{x-e}\cdot{}(-e)}\red{+}\blue{1}\red{+}\color{yellow}{0} [/mm] $

Das blaue und gelbe ist klar. Genauso wie ln = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

zu g'(0), Kann ich dann einfach in das schon Abgeleitete die Null einsetzten $ [mm] =\bruch{-e}{0-e}+1 [/mm] $ Oder muss ich von hier anfangen $ [mm] g(x)=\green{\ln(x-e)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm] $

Bezug
                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Sorry, Fehler.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mo 15.02.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Sorry, ich habe im Grünen Teil nen Fehler drin.

[mm] h(x)=\ln(x-e) [/mm] ergibt, mit der  MBKettenregel abgeleitet:

[mm] h'(x)=\underbrace{\bruch{1}{x-e}}_{\text{äußere Abl}}*\underbrace{1}_{\text{innere Abl}} [/mm]

Marius

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Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 15.02.2010
Autor: Steffi21

Hallo Marius, im Nenner steht ln(e-x) nicht ln(x-e) Steffi

Bezug
                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

So nochmal mit dem Term

$ [mm] g(x)=\green{\ln(e-x)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm] $

Bei der Kettenregel hat man doch immer innere h(x) und äußere Ableitung a(x)

mein h(x) ist hier ln und h'(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

a(x) = (e-x) a'(x) = (e-1)  Oder?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mo 15.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> So nochmal mit dem Term
>  
> [mm]g(x)=\green{\ln(e-x)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1}[/mm]
>  
> Bei der Kettenregel hat man doch immer innere h(x) und
> äußere Ableitung a(x)

Ja, du meinst innere und äußere Funktion.

>  
> mein h(x) ist hier ln und h'(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>  
> a(x) = (e-x) a'(x) = (e-1)  Oder? [notok]

Nein, äußere Funktion ist [mm] $a(x)=\ln(x)$, [/mm] innere ist $h(x)=e-x$

Du brauchst also [mm] $a'(h(x))\cdot{}h'(x)$ [/mm]

Damit [mm] $\left[\ln(e-x)\right]'=\underbrace{\frac{1}{e-x}}_{\text{äußere Abl. an der Stelle h(x)}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}=....$ [/mm]


LG

schachuzipus


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Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo schachuzipus,
okay Danke.


$ [mm] \left[\ln(e-x)\right]'=\underbrace{\frac{1}{e-x}}_{\text{äußere Abl. an der Stelle h(x)}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}= \bruch{-1}{e+x} [/mm] +1$ = g'(x)

Falls das so richtig ist, kann ich dann einfach g'(0) [mm] \bruch{-1}{e+0} [/mm] +1 rechnen?


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Mo 15.02.2010
Autor: Loddar

Hallo MatheNullplan00!


> [mm]\left[\ln(e-x)\right]'=\underbrace{\frac{1}{e-x}}_{\text{äußere Abl. an der Stelle h(x)}} \ \cdot{} \ \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}[/mm]

Brich die Zeile hier mal ab, dann stimmt es.


> [mm]= \bruch{-1}{e+x} +1[/mm] = g'(x)

[notok] Nicht ganz. Überprüfe die Vorzeichen im Nenner des Bruches.

  

> Falls das so richtig ist, kann ich dann einfach g'(0)
> [mm]\bruch{-1}{e+0}[/mm] +1 rechnen?

[ok] Ja, das kannst Du ... jedoch mit dem dann richtigen Term.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Loddar,

$ = [mm] \bruch{-1}{-e+x} [/mm] +1 $ = g'(x)
So hoffe jetzt stimmts ;-)

g'(0)$ [mm] \bruch{-1}{-e+0} [/mm] $ +1 = 2


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mo 15.02.2010
Autor: Loddar

Hallo MatheNullplan00!


> [mm]= \bruch{-1}{-e+x} +1[/mm] = g'(x)
> So hoffe jetzt stimmts ;-)

Leider nicht. Wie kommst Du auf die vertauschten Vorzeichen im Nenner?


> g'(0)[mm] \bruch{-1}{-e+0}[/mm] +1 = 2

[notok] Was ist denn mit dem $e_$ passiert?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Ähm deswegen:

$ [mm] \left[\ln(e-x)\right]'={\frac{1}{e-x}} [/mm] \ [mm] \cdot{}{(-1)}=.... [/mm] $
Wenn ich doch alles mal (-1) multipliziere. Oder  multipliziere ich nur den Zähler mit (-1) ?

Dann so:g'(x) [mm] {\frac{-1}{e-x}} [/mm] +1

g'(0) [mm] ={\frac{-1}{e-0}} [/mm] +1


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 15.02.2010
Autor: kalkulator


> Ähm deswegen:
>  
> [mm]\left[\ln(e-x)\right]'={\frac{1}{e-x}} \ \cdot{}{(-1)}=....[/mm]
>  
> Wenn ich doch alles mal (-1) multipliziere. Oder  
> multipliziere ich nur den Zähler mit (-1) ?
>  
> Dann so:g'(x) [mm]{\frac{-1}{e-x}}[/mm] +1
>  

Das obige Ergebnis is' richtig.
Wenn Du zähler und Nenner je mit $-1$ multiplizierst, dann multiplizierst Du lt. Multiplikationsregel für Brüche insgesamt gesehen mit [mm] $\frac{-1}{-1}=1$. [/mm] Wenn Du "nur" den Zähler (oder Nenner) mit $-1$ multiplizierst, dann multiplizierst Du den ganzen Bruch mit  $-1$.

> g'(0) [mm]={\frac{-1}{e-0}}[/mm] +1
>  

Mit dieser Ableitung kommst du weiter.

Gruß Andreas


Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Achso. Okay. Danke ;-)

Also dann habe ich alles:

f'(x) [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm]

g'(x) $ [mm] {\frac{-1}{e-x}} [/mm] $ +1

Kann ich das dann einfach in diese Formel einsetzten?

$ [mm] =\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $


= [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm]





Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: soweit richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Mo 15.02.2010
Autor: Loddar

Hallo!


[daumenhoch] ! So stimmt es ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Okay, ja aber nun wie rechne ich weiter für x wieder 0 einsetzten?

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mo 15.02.2010
Autor: Loddar

Hallo!


[ok] Richtig erkannt.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Mo 15.02.2010
Autor: MatheNullplan00

$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $

[mm] =\limes_{x\rightarrow a}\bruch{2}{\frac{-1}{1}+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{0} [/mm]

Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Mo 15.02.2010
Autor: leduart

Hallo
falsch. einfach was sorgfältiger x=0 einsetzen!
Du vertust viel Zeit mit schreiben, die du beser mit sorgfältiger rechnen verbrächtest.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Di 16.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,

$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $

Ja, aber der Zähler stimmt doch?

f'(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ + $ [mm] e^{-x} [/mm] $
f'(0) = 2

Jetzt der Nenner:
[mm] f'(x){\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $

f(0) = [mm] {\frac{-1}{e-0}+1} [/mm]

e-0 ist doch = 1 ?

Oder wie wird noch mal ein Bruch unterm Bruch berechnet?



Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Di 16.02.2010
Autor: Steffi21

Hallo,

Zähler: ist ok
Nenner: e-0=e also [mm] -\bruch{1}{e}+1 [/mm]

Steffi

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Di 16.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Steffi,

$ [mm] -\bruch{1}{e} [/mm] = - 0,3678 + 1 = 0,6322

$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $

[mm] =\frac{2}{0,6322} [/mm]



Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Di 16.02.2010
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] \approx3,163 [/mm] besser [mm] \bruch{2e}{e-1} [/mm]

Steffi

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 21:39 Mo 15.02.2010
Autor: abakus


> > Ich habs nun mal durchgerechnet.
>  >  
>
> Hi!
>  
> > f(x) = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^{-x}[/mm]
>  >  f(0) = 0
>  >  g(x) = ln(e-x)+x-1
>  >  g(0) = 0
>  >  
> > f'(x) = [mm]e^x[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm]
>  >  f'(0) = 0

Hallo,
f'(0)=1+1=2 .
Gruß Abakus

>  >

>
> [ok]
>  
> > g'(x) = [mm]\bruch{1}{x}(e-1)[/mm]
>  >  
> > g'(0) = [mm]\bruch{1}{x // Oder hier 0?}(e-1)[/mm]
> >  

>
> [notok]
>  
> Nach welchen Regeln hast du hier abgeleitet? Du musst hier
> mit der Kettenregel ran!
>  
> Grüße, Stefan.


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