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| Aufgabe | a) Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in [/mm] N, die gegen ein a [mm] \in \IR [/mm] mit a > 0 konvergiert. Zeigen Sie, dass dann die Folge
[mm] (\wurzel[n]{a_n}) [/mm] gegen 1 konvergiert!
b) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{3^n+n^2}{2^n+n^3}} [/mm] |
Hallo,
Teil a) habe ich bewiesen, aber für b) finde ich einfach keinen Ansatz...
Hat jemand eine Idee?
Grüsse
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Hallo Blackburn,
> a) Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm]a_n \ge[/mm] 0 für
> alle n [mm]\in[/mm] N, die gegen ein a [mm]\in \IR[/mm] mit a > 0
> konvergiert. Zeigen Sie, dass dann die Folge
> [mm](\wurzel[n]{a_n})[/mm] gegen 1 konvergiert!
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> b) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{3^n+n^2}{2^n+n^3}}[/mm]
> Hallo,
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> Teil a) habe ich bewiesen, aber für b) finde ich einfach
> keinen Ansatz...
> Hat jemand eine Idee?
Klammer unter der Wurzel im Zähler [mm] $3^n$ [/mm] aus, im Nenner [mm] $2^n$ [/mm] ...
>
> Grüsse
LG
schachuzipus
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Ok, ich denke, ich habs:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{3^n + n^2}{2^n + n^3}}
[/mm]
= [mm] \wurzel[n]{\bruch{3^n * (1 + \bruch{n^2}{3^n})}{2^n * (1 + \bruch{n^3}{2^n})}}
[/mm]
= [mm] \wurzel[n]{\bruch{3^n}{2n}} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1 + \bruch{n^2}{3^n}}{1 + \bruch{n^3}{2^n}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1 + \bruch{n^2}{3^n}}{1 + \bruch{n^3}{2^n}}}
[/mm]
Aus Vorlesung: Wenn a > 1, q > 0, q [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^n}{n^q} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
Weiterhin gilt:
Wenn [mm] |\bruch{a^n}{n^q}| \to +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\bruch{a^n}{n^q}} [/mm] = [mm] \bruch{n^q}{a^n} \to [/mm] 0
Insbesondere: [mm] \bruch{n^2}{3^n} \to [/mm] 0 und [mm] \bruch{n^3}{2^n} \to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] \bruch{n^2}{3^n} \to [/mm] 1 und 1 + [mm] \bruch{n^3}{2^n} \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \underbrace{0 \le}_{\forall n} \bruch{1 + \bruch{n^2}{3^n}}{1 + \bruch{n^3}{2^n}} \to \bruch{1}{1} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] (mit Teilaufgabe a) [mm] \wurzel[n]{\bruch{1 + \bruch{n^2}{3^n}}{1 + \bruch{n^3}{2^n}}} \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1 + \bruch{n^2}{3^n}}{1 + \bruch{n^3}{2^n}}} \to \bruch{3}{2} [/mm] * 1 = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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