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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 So 19.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert:
[mm] a_n:=\bruch{2^n+3n!+4n^n}{3^n*(3+(-1)^n)} [/mm] |
Ich denke, hier handelt es sich um den uneigentlichen Grenzwert, kann das sein? Allerdings ist die Folge für mich echt kompliziert!!
die Potenz die am schnellsten wächst ist "hoch n" .
Aber wenn ich [mm] 2^n [/mm] ausklammer, das hilft mir nicht weiter.
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
LG
heinze
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Hallo,
> Bestimme den Grenzwert:
>
> [mm]a_n:=\bruch{2^n+3n!+4n^n}{3^n*(3+(-1)^n)}[/mm]
>
> Ich denke, hier handelt es sich um den uneigentlichen
> Grenzwert, kann das sein?
So ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Allerdings ist die Folge für
> mich echt kompliziert!!
>
> die Potenz die am schnellsten wächst ist "hoch n" .
>
Achtung: du hast es hier mit zweierlei Potenzen zu tun. Solchen der Form [mm] a^n [/mm] und den [mm] 4n^n. [/mm] Dieser Term wächst in der Tat am schnellsten.
> Aber wenn ich [mm]2^n[/mm] ausklammer, das hilft mir nicht weiter.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Ich würde die Folge zunächst einmal nach unten abschätzen, um den Vorzeichenwechsel im Nenner zu beseitigen. Klammere dann im Zähler [mm] n^n [/mm] aus, der Rest ist einfach.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 19.05.2013 | | Autor: | heinze |
Wie meinst du das mit dem Abschätzen im Nenner? Wir haben sowas bisher kaum gemacht! Und wenn dann nur normal Grenzwert von sehr "einfachen" Folgen. Daher fehlt mir die Übung!
[mm] (-1)^n [/mm] konvergiert an sich nicht...den Nenner ausmultiplizieren wäre auch nicht sinnvoll.
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Wie meinst du das mit dem Abschätzen im Nenner?
Nun, der Nenner nimmt, wenn man das mal durchrechnet, die Terme
[mm] 2*3^n [/mm] ; [mm] 4*3^n
[/mm]
alternierend an. Wenn du nun eine Folge
[mm] b_n=\bruch{2^n+3n!+4n^n}{4*3^n}
[/mm]
betrachtest, dann gilt sicherlich
[mm] b_n\le{a_n}
[/mm]
Die Problematik ist jedoch nach wie vor die gleiche.
Die Aufgabe ist raffiniert gestellt. Von der Problematik her geht es doch letztendlich darum, was schneller wächst: n! oder [mm] n^n. [/mm] Das ist ein recht elemetare Problematik, sie wird oft in Gestalt der Folge
[mm] c_n=\bruch{n!}{n^n}
[/mm]
vorgestellt, die eine Nullfolge ist. Entweder, du darfst das voraussetzen, oder aber du musst es noch zeigen (das musst du selbst wissen). Tatsache ist, dass man auf diese Problematik stößt, wenn man bei deiner Folge nachrechnen möchte, dass sie gegen [mm] \infty [/mm] strebt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 19.05.2013 | | Autor: | heinze |
Jetzt verstehe ich gar nichts mir. Das [mm] n^n [/mm] am schnellsten wächst leuchtet mir ja ein, aber ich weiß nun gar nicht mehr wie ich hier irgendwas mit uneigentlichem Grenzwert zeigen kann bzw versteh nicht mal wie du auf [mm] 4*3^n [/mm] kommst. Kannst du mir das nochmal erklären?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 19.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo heinze!
Betrachte mal jeweils separat ein gerade und ein ungerades $n_$ .
Was ergibt sich dann aus [mm] $(-1)^n$ [/mm] , und damit aus dem gesamten Nenner?
Nichts anderes hat Diophant gemacht.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt verstehe ich gar nichts mir. Das [mm]n^n[/mm] am schnellsten
> wächst leuchtet mir ja ein, aber ich weiß nun gar nicht
> mehr wie ich hier irgendwas mit uneigentlichem Grenzwert
> zeigen kann bzw versteh nicht mal wie du auf [mm]4*3^n[/mm] kommst.
> Kannst du mir das nochmal erklären?
Es ist
$ [mm] a_n=\bruch{2^n+3n!+4n^n}{3^n\cdot{}(3+(-1)^n)} [/mm] $
Schauen wir uns mal den Nenner an: es gilt, weil [mm] 3+(-1)^n \le [/mm] 4 ist:
[mm] 3^n\cdot{}(3+(-1)^n) \le 4*3^n.
[/mm]
Für den Zähler gilt:
[mm] 2^n+3n!+4n^n \ge 4n^n.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] a_n \ge \bruch{4n^n}{4*3^n}=\bruch{n^n}{3^n}.
[/mm]
Für n [mm] \ge [/mm] 4 ist also: [mm] a_n \ge \bruch{4^n}{3^n}=(\bruch{4}{3})^n.
[/mm]
FRED
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 20.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke, das habe ich nun alles soweit verstehen können.
Mir ist aber nun nicht klar, wie ich auf einen unendlichen Grenzwert komme, wenn [mm] n\to \infty.
[/mm]
für [mm] (\bruch{4}{3})^n [/mm] geht der Grenzwert doch aber gegen 0 und nicht gegen unendlich!
habe ich aber [mm] \bruch{n^n}{3^n}, [/mm] dann geht der Zähler gegen [mm] \infty [/mm] und der Nenner gegen [mm] \infty...oder [/mm] wie meinst du das für [mm] n\ge [/mm] 4?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke, das habe ich nun alles soweit verstehen können.
>
> Mir ist aber nun nicht klar, wie ich auf einen unendlichen
> Grenzwert komme, wenn [mm]n\to \infty.[/mm]
>
> für [mm](\bruch{4}{3})^n[/mm] geht der Grenzwert doch aber gegen 0
> und nicht gegen unendlich!
Wieso sollte er das tun.
Beachte für [mm] q^n [/mm] die Fälle |q|<1 und |q|>1 getrennt.
>
> habe ich aber [mm]\bruch{n^n}{3^n},[/mm] dann geht der Zähler gegen
> [mm]\infty[/mm] und der Nenner gegen [mm]\infty...oder[/mm] wie meinst du das
> für [mm]n\ge[/mm] 4?
Es gilt doch:
[mm] \frac{n^{n}}{3^{n}}=\left(\frac{n}{3}\right)^{n}
[/mm]
Erkennst du nun, warum [mm] n\le4 [/mm] betrachtet wird.
>
>
> LG
> heinze
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 20.05.2013 | | Autor: | heinze |
Irgendwie stehe ich grad total auf dem Schlauch!
Neinm ich verstehe nicht, warum [mm] n\le [/mm] 4 betrachtet wird, wobei Fred doch [mm] n\ge [/mm] 4 geschrieben hatte.
Wir haben das in der VL kaum durchgesprochen, lediglich ging es darum, dass der Grenzwert immer [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] sein muss.
Was ist denn hier nun der Grenzwert? ich bin irritiert.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Irgendwie stehe ich grad total auf dem Schlauch!
>
> Neinm ich verstehe nicht, warum [mm]n\le[/mm] 4 betrachtet wird,
> wobei Fred doch [mm]n\ge[/mm] 4 geschrieben hatte.
Marius hat sich verschrieben.
FRED
>
> Wir haben das in der VL kaum durchgesprochen, lediglich
> ging es darum, dass der Grenzwert immer [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm]
> sein muss.
>
> Was ist denn hier nun der Grenzwert? ich bin irritiert.
>
>
> LG
> heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Irgendwie stehe ich grad total auf dem Schlauch!
> >
> > Neinm ich verstehe nicht, warum [mm]n\le[/mm] 4 betrachtet wird,
> > wobei Fred doch [mm]n\ge[/mm] 4 geschrieben hatte.
>
> Marius hat sich verschrieben.
>
> FRED
In der Tat, sorry, [mm] n\ge4 [/mm] ist natürlich korrekt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 20.05.2013 | | Autor: | heinze |
Also geht der Grenzwert für [mm] n\ge [/mm] 4 gegen [mm] \infty? [/mm] und was ist mit [mm] n\le [/mm] 4?
Sorry, aber habe es noch nicht ganz verstanden!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Also geht der Grenzwert für [mm]n\ge[/mm] 4 gegen [mm]\infty?[/mm] und was
> ist mit [mm]n\le[/mm] 4?
Wenn [mm] n\to\infty [/mm] ist natürlich auch [mm] n\ge4
[/mm]
Daher sind die anderen Fälle hier irrelevant.
>
> Sorry, aber habe es noch nicht ganz verstanden!
>
Zum Unterschied aber mal trotzdem:
Betrachte mal für [mm] q\in\IN [/mm] den Grenzwert [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{q}{4}\right)^{n}
[/mm]
Was wäre, wenn q=3?
Was wäre, wenn [mm] q\le2
[/mm]
>
> LG
> heinze
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mo 20.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
> Betrachte mal für [mm]q\in\IN[/mm] den Grenzwert
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{q}{4}^{n}[/mm]
>
> Was wäre, wenn q=3?
> Was wäre, wenn [mm]q\le2[/mm]
...und was wäre denn, wenn [mm] q\in\IR [/mm] und z.B. q=e wäre?
Oder [mm] q=\bruch{21}{22}\pi [/mm] ?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Ich habe in meiner Antwort nochmal Klammern gesetzt, danke an alle, die mich auf die fehlenden Klammern aufmerksam gemacht haben.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also geht der Grenzwert für [mm]n\ge[/mm] 4 gegen [mm]\infty?[/mm] und was
> ist mit [mm]n\le[/mm] 4?
Seit über 17 Monaten bist Du im Hochschulforum Mathematik unterwegs und es scheint, als hättest Du den Grenzwertbegriff immer noch nicht verinnerlicht.
Wenn Du eine Folge [mm] (a_n) [/mm] vorliegen hast, so kommt es, was das Konvergenz/Divergenzverhalten von [mm] (a_n) [/mm] betrifft, auf endlich viele Folgenglieder nicht an !
Beispiele:
1. Ist [mm] a_n=0 [/mm] für n [mm] \in \{1,2,....., 12345434567657^{12321} \} [/mm] und [mm] a_n [/mm] >n für n> [mm] 12345434567657^{12321}, [/mm] so gilt:
[mm] a_n \to \infty.
[/mm]
2. Ist [mm] a_n=((n^n)^n)^n*e^{n^{12321}} [/mm] für n [mm] \in \{1,...,5000\} [/mm] und [mm] a_n=1/n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 5001, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
FRED
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> Sorry, aber habe es noch nicht ganz verstanden!
>
>
> LG
> heinze
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