Grenzwert bestimmen eines Bruc < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Sa 11.06.2016 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2}*10^{k}-\wurzel{3}*10^{2*k}}{\wurzel{7}*10^{k-1}+\wurzel{5}*10^{2*k-1}} [/mm] |
Guten Tag,
ich möchte den Grenzwert bestimmen. Aber weiß nicht wie.
erstmal schaue ich wie zähler und wie Nenner sich für [mm] {k\rightarrow\infty} [/mm] verhlaten. Dabei musste ich festellen das [mm] \bruch{Zaehler}{Nenner}=\bruch{{Zaehler\rightarrow\0}0}{{Nenner\rightarrow\infty}}
[/mm]
Deswegen lässt sich l´Hospital auch nicht anwenden.
Eine Betrachtung der höchsten Exponeten bringt: n>m was bedeuten würde das [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}= \infty
[/mm]
Das stimmt aber nicht mit der Lösung [mm] ueberein.(-2*\wurzel{15})
[/mm]
Kann mir jemand weiter helfen ?
Bedanke mich schonmal im vorraus. :)
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Hiho,
> Eine Betrachtung der höchsten Exponeten bringt: n>m was
> bedeuten würde das [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}= \infty[/mm]
das ist falsch, denn es gibt keine Exponenten n und m, der Laufindex ist k und damit deine Aussage schlichtweg sinnlos.
Oder kurz gesagt: Wenn man schlampig aufschreibt, kommt man auf solchen Kram.
Also: Bestimme den höchsten Exponenten, klammere das im Zähler und Nenner aus, kürzen, Grenzwert bilden, freuen.
Gruß,
Gono
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Präzisierung der Anleitung von Gonozal_IX:
Kürze mit der höchsten Potenz IM NENNER, also mit [mm] 10^{2k-1}.
[/mm]
Natürlich musst du alle Summanden im Zähler und Nenner damit kürzen.
Als Grenzwert solltest du [mm] -10*\wurzel{\bruch{3}{5}} [/mm] erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 11.06.2016 | | Autor: | arti8 |
OK vielen Dank. Hab es glaube ich jetzt richtig verstanden.
Um sicher zu gehen möchte ich nochmal meine Gedanken und Rechenweg teilen.
also Potenz nach [mm] 10^{2k-1} [/mm] ergibt:
[mm] \bruch{10^{2k-1}(\wurzel{2}*10^{-k+1}-\wurzel{3}*10)}{10^{2k-1})(\wurzel{7}*10^{-k}+\wurzel{5})}=\bruch{(\wurzel{2}*10^{-k+1}-\wurzel{3}*10)}{(\wurzel{7}*10^{-k}+\wurzel{5})}
[/mm]
[mm] \bruch{\overbrace{(\wurzel{2}*10^{-k+1}}^{{k\rightarrow\infty}=0}-\wurzel{3}*10)}{\underbrace{(\wurzel{7}*10^{-k}}_{{k\rightarrow\infty}=0}+\wurzel{5})}
[/mm]
so dass [mm] -10*\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{5}} [/mm] stehen bleibt und mein Grenzwert ist ? habe ich das so richtig verstanden ?
Und warum geht das Verfahren mit der Bestimmung des höchsten Exponetnen nicht ? Also ich mein das man schaut welchen grad die Funktion im Zaehler und Nenner hat ?
Weil eigentlich habe ich doch, egal welchen Wert ich fuer k eingebe, immer einen höheren Grad im Zähler ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist die Vorgehensweise.
Viele Grüße,
Infinit
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Hiho,
> Und warum geht das Verfahren mit der Bestimmung des
> höchsten Exponetnen nicht ? Also ich mein das man schaut
> welchen grad die Funktion im Zaehler und Nenner hat ?
Es funktioniert doch. Du hast zwar einen höheren Grad im Zähler, aber eben einen konstant höheren Grad und keinen, der schneller wächst als der im Nenner.
Und damit tut der Bruch nur so, als gäbe es einen Exponentunterschied.
Schreibt man nämlich [mm] $\sqrt{5}*10^{2k-1}$ [/mm] als [mm] $\bruch{\sqrt{5}}{10}*10^{2k}$ [/mm] erkennt man, dass im Zähler gar kein höherer Exponent steht und man kann den Grenzwert ganz leicht als Faktoren vor den Summanden mit dem höchsten Exponent ablesen, hier also:
[mm] $\frac{-3}{\bruch{\sqrt{5}}{10}}$ [/mm] was nach Auflösen des Doppelbruchs eben exakt dein Ergebnis ist.
Gruß,
Gono
>
> Weil eigentlich habe ich doch, egal welchen Wert ich fuer k
> eingebe, immer einen höheren Grad im Zähler ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 12.06.2016 | | Autor: | arti8 |
wow das stimmt. Das merke ich mir auf jeden Fall. Vielen lieben Dank für die gute Erklärung :)
Lieben Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Kürze mit der höchsten Potenz IM NENNER
nein, ich meinte schon die höchste Potenz. Denn das funktioniert immer um eine Aussage über die Konvergenz zu bekommen… Das Ergebnis bleibt natürlich dasselbe.
Gruß,
Gono
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Dein Verfahren:
[mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{1-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n^3}-\bruch{1}{n^2}} \to \bruch{1-0}{0-0} \to \pm \infty [/mm] ????
Wenn du [mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3} [/mm] mit [mm] n^5 [/mm] kürzt, geht der Nenner im Limes gegen 0, und du erkennst nur die Divergenz.
Mein Verfahren:
[mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{\bruch{1}{n}-1} \to \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{0-1} \to -(n^2-n)= [/mm] -n(n-1) [mm] \to -\infty [/mm] !!!
Kürzt du mit der höchsten Potenz im Nenner, so geht der Nenner immer gegen eine feste Zahl, und du kannst im Zähler ablesen, dass hier z.B. eine "quadratische Divergenz" vorliegt, und zwar nach MINUS(!) unendlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Di 14.06.2016 | | Autor: | hilbert |
Mathematisch sauber ist das nicht. (Grenzwertsätze!)
Beispielsweise
[mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{\bruch{1}{n}-1} \to \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{0-1} \to -(n^2-n)= [/mm] -n(n-1) [mm] \to -\infty [/mm]
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> Mathematisch sauber ist das nicht. (Grenzwertsätze!)
>
> Beispielsweise
>
> [mm]\bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{\bruch{1}{n}-1} \to \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{0-1} \to -(n^2-n)=[/mm]
> -n(n-1) [mm]\to -\infty[/mm]
>
Habe leider beim Kopieren einen Ausdruck zuviel eingefügt.
Korrektur: [mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{\bruch{1}{n}-1} \to \bruch{n^2-n}{0-1} \to -(n^2-n)= [/mm] -n(n-1) [mm] \to -\infty
[/mm]
Mathematisch sauber ist natürlich
[mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{n^2-n}{\bruch{1}{n}-1}=\bruch{n(n-1)}{\bruch{1}{n}-1}=\bruch{-n(n-1)}{1-\bruch{1}{n}} \to \bruch{-\infty}{1} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Zeig jetzt mal beim Kürzen mit [mm] x^5, [/mm] dass [mm] -\infty [/mm] und nicht [mm] +\infty [/mm] herauskommt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Di 14.06.2016 | | Autor: | Heatshawk |
Ich möchte keine unnötige Diskussion anzetteln, aber sauber ist es immer noch nicht, wenn du [mm] \infty [/mm] auf den Bruch schreibst. Das ist schließlich keine Zahl.
Wenn man mit der größten Potenz kürzt muss man sich überlegen, ob man von oben oder von unten gegen die 0 geht um dementsprechend etwas über + oder - unendlich aussagen zu können.
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n=????
[mm] \infty [/mm] darf ich ja nicht schreiben, dass ist schließlich keine Zahl...
und warum beim limes [mm] n\rightarrow\infty [/mm] steht, verstehe ich dann auch nicht, denn da weiß man ja gar nicht, was n macht, denn [mm] \infty [/mm] ist keine Zahl ...
Der Pfeil sollte natürlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
heißen.
Wie unterscheide ich im Ausdruck [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1/n^3-1/n^2) [/mm] denn genau zwischen +0 und -0 ohne weitere (und nach meinem Verfahren eben völlig überflüssige) Umformungen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 14.06.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n=????
das ist [mm] $+\infty$
[/mm]
> [mm]\infty[/mm] darf ich ja nicht schreiben, dass ist schließlich
> keine Zahl...
Nein, das ist schon ok.
Der Fehler liegt formal in der Folgerung:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{-n(n-1)}{1-\frac{1}{n}} [/mm] = [mm] \frac{-\infty}{1}$
[/mm]
Was du hier nämlich anwendest, sind die Grenzwertsätze.
Diese darfst du aber nur anwenden, wenn die Einzelgrenzwerte existieren. Das ist hier aber nicht der Fall, denn "existieren" bedeutet im Grenzwertsinne insbesondere, dass sie endlich sind.
Aber du hast natürlich recht, dass das trotzdem funktioniert, auch wenn es nicht sauber ist. Wenn man dieses Vorwissen hat, dann erkennt man aber auch in deinem Beispiel sofort:
$ [mm] \bruch{n^5-n^4}{n^2-n^3}=\bruch{1-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n^3}-\bruch{1}{n^2}} \to \bruch{1}{0\uparrow} [/mm] = - [mm] \infty [/mm] $
Und man erhält exakt dieselben Informationen, wie bei deinem Weg.
Und zwar genauso unsauber 
Gruß,
Gono
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